考虑之前的例子：

这个函数的积分域为四分之一个圆

在直角坐标系下，计算这个积分并不容易，三角换元是已知的唯一解法。

可以用极坐标代替直角坐标。

先回顾下直角坐标系下的二重积分，积分结果几何上为积分函数和积分区域所围成的体积。积分区域可以无限划分为更小的区域。

极坐标下，二元函数的几何意义是相同的，即二元函数与定义域围成的体积。

将定义域直角坐标系的x和y分别替换成对应极坐标系的 r 和 theta，同理，定义域可以细分为无数的小块，先来计算每个小区域的面积。

注意不是：

当面积足够小时；

再来看看被积分的函数：

由于有直角坐标系和极坐标系的转换公式：

得到最后极坐标下的积分公式：

内积分：

外积分：

这个例子是幸运的，当从直角坐标系变换的极坐标的时候

• 积分区域更加简单

• 积分对象更加简单

但是一般来说，这种转换总会有牺牲的。

• 积分区域不确定，大部分情况下，首先给定角度，对r做积分

• 积分对象变复杂，因为引入了三角函数