【分析方法导引】

在有关圆的问题中，如果不考虑有关线段之间的数量关系时，就应想到要应用与圆有关的角的基本图形进行证明。

当几何问题中出现了同一个圆上的四点时，就可以想到应用圆周角的基本图形进行证明。接下来就应分析问题中出现的所要研究和讨论的角是出现在圆内接四边形的内角或外角上，还是出现在同弧所对的圆周角上。若出现在圆内接四边形的内角或外角上，则添圆内接四边形的边而不必连对角线，然后应用对角的互补关系或外角与内对角的等量关系来完成证明。若出现在同弧所对的圆周角上，则添加两条对角线而不必添一组对边，然后应用同弧所对圆周角的等量关系完成分析。

当几何问题中出现了圆的直径和半圆上的一点或者出现了90°的圆周角时，就可想到要应用半圆上的圆周角的基本图形进行分析。如有直径和半圆上的点而没有圆周角时，应将半圆上的点与直径的两端点分别连接；如有90°的圆周角而没有直径时，应联结圆周角的两边与圆的交点，而这条连线必定过圆心，也就必定是圆的直径。接下来就可以应用直角三角形的性质完成分析。

图4-5

分析：本题条件中出现了△ABC内接于⊙O，P是⊙O上的点，也就是出现了A、B、P、C四点共圆，所以可应用圆周角的基本图形的性质进行证明。

由条件∠BAP=∠CAP，且这两个角都是圆周角，所以可得弧PB=弧PC，并可进一步推得PB=PC。

接下来的问题就是要证明PI=PC,这是两条具有公共端点P的相等线段，它们就可以组成一个等腰三角形，问题也就成为一个等腰三角形的判定问题。于是要证PI=PC，就可转化为证明它的等价性质∠PIC=∠PCI。从图形中我们可以看出∠PCI=∠PCD ∠DCI，而由A、I、P成一直线，可得∠PIC是△ACI的外角，∠PIC=∠IAC ∠ACI，由条件∠DCI=∠ACI，所以问题又成为要证∠PCD=∠IAC，那么由A、B、P、C四点共圆（如图4-6），可得∠PCB=∠PAB，而已知∠PAB=∠PAC，所以分析可以完成。

图4-6

例4 如图4-7，已知：△ABC内接于⊙O，I、K分别是△ABC的内心和旁心，IK交⊙O于E。求证：EI=EK。

图4-7

分析：由条件I、K分别是△ABC的内心和旁心，可得IA、KA都是∠A的平分线，A、I、E、K成一直线，且IB、KB分别是∠B和∠B的外角平分线，于是IB⊥KB。而本题要证明的结论是EI=EK，这样就出现了E是Rt△IKB的斜边的中点，从而可应用直角三角形斜边上中线的基本图形的性质进行证明。现在图形中这条斜边上的中线尚未出现，所以应先将它添出，也就是联结EB（如图4-8），于是要证EI=EK，就应证明EI和EK都和EB相等，再进一步就应证EI=EK的等价性质∠EIB=∠EBI成立。又因为∠EIB=∠BAI ∠ABI=1/2∠CAB 1/2∠ABC，∠EBI=∠EBC ∠IBC=∠EBC 1/2∠ABC，所以只要证明∠EBC=1/2∠CAB=∠EAC。而由条件A、B、E、C四点共圆性质得证。

图4-8