课题：28.2 解直角三角形

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一、教学目标

1．知识与技能

理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题；初步感受高等数学中的微积分思想．

2．过程与方法

通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．

3．情感、态度与价值观

渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．

二、 重点与难点

1．重点：直角三角形的解法．

2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．

三、教学方法

1．注意加强知识间的纵向联系

锐角三角函数反映了锐角与数值之间的函数关系，这一次函数、反比例函数以及二次函数一样，都反映了变量之间的对应关系．因此教学时，要注意让学生体会这些不同函数之间的共同特征，更好地理解函数的概念．

2．注意数形结合，注意体现数与形之间的联系

解直角三角形在实际中有着广泛的作用，在将这些实际问题抽象成数学问题，并利用锐角三角函数解直角三角形时，离不开几何图形，这时往往需要根据题意画出几何图形，通过分析几何图形得到边、角等的关系，再通过计算、推理等使实际问题得到解决．因此在本章教学时，要注意加强数形结合，在引入概念、推理论述、化简计算、解决实际问题时，都要尽量画图帮助分析，通过图形帮助找到直角三角形的边、角之间的关系，加深对直角三角形本质的理解．

四、教学过程

（一）复习导入

我们回到本章引言提出的比萨斜塔倾斜程度的问题。

1972年的情形：设塔顶中心点为B,塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A,过点B向垂直中心线引垂线，垂足为点C(图28.2-1)。在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5.2mAB=54.5m,因此

sinA= BC/AB=5.2/54.5≈0.0954

利用计算器可得∠A≈5°28′

类似地，可以求出2001年纠偏后塔身中心线与垂直中心线的夹角。你能求出来吗？

如果将上述实际问题抽象为数学问题，就是已知直角三角形的斜边和一条直角边，求它的锐角的度数。

一般地，直角三角形中，除直角外共有五个元素，即三条边和两个锐角由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。

（二）互动授新

例题1：要想使人完全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角a一般要满足50°≤a≤75°（课本图28．2-1），现有一个长6m的梯子，问：

1．使用这个梯子最高可以完全攀上多高的墙（精确到0.1m）？

2．当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角a等于多少（精确到1°）？这时人是否能够安全使用这个梯子？

首先对问题的解法进行分析：对于问题1，当梯子与地面所成的角a为75°时，梯子顶端与地面的距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度．

教师要求学生将上述问题用数学语言表达，学生做完后教师总结并板书：我们可以把问题1归结为：在Rt△ABC中，已知∠A=75°，斜边AB=6，求∠A的对边BC的长（如课本图28．2-1）．

教师讲解问题1的解法：

由sinA= 得 BC=AB·sinA=6×sin75°．

由计算器求得 sin75°≈0.97，

所以 BC≈6×0.97≈5.8．

因此使用这个梯子能够完全攀到墙面的最大高度约是5.8m．

教师分析问题2：当梯子底端距离墙面2.4m时，求梯子与地面所成的角a的问题，可以归结为：在Rt△ABC中，已知AC=2.4，斜边AB=6，求锐角a的度数（如课本图28．2-1）．

教师解题：由于cosa=AC/Ab=2.4/6=0.4，

利用计算器求得a≈66°．因此当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角大约是66°，由50°<66°<75°可知，这时使用这个梯子是安全的．

例题2：如下图，已知A、B两点间的距离是160米，从A点看B点的仰角是11°，AC长为1.5米，求BD的高及水平距离CD．

学生先做完此题后教师再进行讲评：

解题方法分析：由A作一条平行于CD的直线交BD于E，构造出Rt△ABE，然后进一步求出AE、BE，进而求出BD与CD．设置此题，即使成绩较好的学生有足够的训练，同时对较差学生又是巩固，达到分层次教学的目的．

解：过A作AE∥CD，于是有AC=ED，AE=CD．

在Rt△ABE中，sinA=BE/AE

∴BE=AB·sinA=160·sin11°=30.53（米）．

cosA=AE/AB

∴AE=AB·cosA=160·cos11°=157.1（米）

∴BD=BE ED=BE AC=30.53 1.5=32.03（米）．

即 CD=AE=157.1（米）．

答：BD的高及水平距离CD分别是32.03米，157.1米．

小结：利用三角函数解应用题时，首先要把问题的条件与结论都转化为一个直角三角形内的边和角，然后再运用三角函数知识解题．

（三）课堂巩固练习

双基与中考

1．根据直角三角形的__________元素（至少有一个边），求出________其它所有元素的过程，即解直角三角形．

2．Rt△ABC中，若sinA=4/5，AB=10，那么BC=_____，tanB=______．

3．在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，那么sinA=________．

4．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanB=cos∠DAC．

（1）求证：AC=BD;（2）若sinC=，BC=12，求AD的长．

答案:

1．已知两个 2．8 3/4 3． 4/5

4.（1）在△ABC中，AD是BC边上的高，

∴tanB=AD/AB cos∠DAC=AD/AC

又∵tanB=cos∠DAC．

∴BD=AC．

（2）∵sinC=12/13，设AD=12x，AC=13x，

∴CD=5x，BD=13x，则BC=18x，

又∵BC=12，

∴18x=12，即x=2/3，

∴AD=8．

（四）课堂总结

解直角三角形时一般要用到下面的知识，在Rt△ABC中，∠C为直角，∠A, ∠B ∠C 所对的边分别为a b c.那么除直角∠C外的五个元素之间的关系。

（1）三边之间的关系：

c² = b² a²（勾股定理）

c = √ b² a²

b = √ c² -a²

a = √ c² - b²

（2）两锐角之间的关系：

∠A ∠B=90°．

（3）边角之间的关系：

sinA= ∠A的对边/斜边 = a/c，

sinB= ∠B的对边/斜边 = b/c

cosA= ∠A对邻边/斜边 = b/c

cosB=∠B的邻边/斜边 = a/c

tanA=∠A的对边/邻边 = a/b

tanB=∠B的对边/邻边 = b/a

利用这些关系，知道其中两个元素（至少有一个是边），就可以求出其余三个未知元素。

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