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要点：有理数的相关概念

1．有理数的分类：

（1）按定义分类：

（2）按性质分类：

要点诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量；

（2）有理数“0”的作用：

2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线．

要点诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如π．

（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．

3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．

要点诠释：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．

（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“-”号即可．

（3）多重符号的化简：数字前面“-”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负．

4．绝对值：

（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作|a|．

（2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．

考点：有理数相关概念

1．已知x与y互为相反数，m与n互为倒数，|x y | （a-1）²＝0，求a²-(x y mn)a (x y)²⁰⁰⁹ (-mn)²⁰¹⁰的值．

【思路点拨】(1)若有理数x与y互为相反数，则x y＝0，反过来也成立．

(2)若有理数m与n互为倒数，则mn＝1，反过来也成立．

【答案与解析】

解：因为x与y互为相反数，m与n互为倒数，（a-1）²≥0，

所以x y＝0，mn＝1，a＝1，

所以a²-(x y mn)a (x y)²⁰⁰⁹ (-mn)²⁰¹⁰

＝a²-(0 1)a 0²⁰⁰⁹ (-1)²⁰¹⁰

＝a²-a 1．

∵a＝1，∴原式＝1²-1 1＝1

【总结升华】要全面正确地理解倒数，绝对值，相反数等概念.

举一反三：

【变式1】选择题

（1）已知四种说法：

①|a|=a时，a>0；|a|=-a时， a<0. ②|a|就是a与-a中较大的数.

③|a|就是数轴上a到原点的距离. ④对于任意有理数，-|a|≤a≤|a|.

其中说法正确的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

（2）有四个说法：

①有最小的有理数 ②有绝对值最小的有理数

③有最小的正有理数 ④没有最大的负有理数

上述说法正确的是（ ）

A．①② B．③④ C．②④ D．①②

（3）已知(-ab)³>0，则（ ）

A．ab<0 B．ab>0 C．a>0且b<0 D．a<0且b<0

（4）若|x-1| |y 3| |z-5|=0，则(x 1)(y-3)(z 5)的值是（ ）

A．120 B．-15 C．0 D．-120

（5）下列各对算式中，结果相等的是（ ）

A．-a⁶与(-a)⁶ B．-a³与|-a|³ C．[(-a)²]³与(-a³)² D．(ab)³与ab³

【答案】（1）C；（2）C；（3）A；（4）D；(5)C

【变式2】（2015•呼伦贝尔）中国的陆地面积约为9 600 000km²，把9 600 000用科学记数法表示为 ．

【答案】9.6×10⁶．

2.（2016•江西校级模拟）如果m，n互为相反数，那么|m n﹣2016|=________．

【思路点拨】先用相反数的意义确定出m n=0，从而求出|m n﹣2016|.

【答案】2016.

【解析】解：∵m，n互为相反数，

∴m n=0，

∴|m n﹣2016|=|﹣2016|=2016；

故答案为2016．

【总结升华】此题是绝对值题，主要考查了绝对值的意义，相反数的性质，熟知相反数的意义是解本题的关键．

考点、数学思想在本章中的应用

5．（2014•香洲区校级二模）（1）阅读下面材料：

点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|．

当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图（1），|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|；

当A，B两点都不在原点时，

①如图（2），点A，B都在原点的右边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|；

②如图（3），点A，B都在原点的左边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣（﹣a）=|a﹣b|；

③如图（4），点A，B在原点的两边，|AB|=|OA| |OB|=|a| |b|=a （﹣b）=|a﹣b|；

综上，数轴上A，B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|．

（2）回答下列问题：

①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是 ；

②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是 ，如果|AB|=2，那么x为 ；

③当代数式|x 1| |x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是 ．

④解方程|x 1| |x﹣2|=5．

【答案与解析】

解：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是|2﹣5|=3；

数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是|﹣2﹣（﹣5）|=3；

数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是|1﹣（﹣3）|=4．

②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是|x﹣（﹣1）|=|x 1|，如果|AB|=2，那么x为1或﹣3．

③当代数式|x 1|十|x﹣2|取最小值时，

∴x 1≥0，x﹣2≤0，

∴﹣1≤x≤2．

④当x≤﹣1时，﹣x﹣1﹣x 2=5，解得x=﹣2；

当﹣1＜x≤2时，3≠5，不成立；

当x＞2时，x 1 x﹣2=5，解得x=3．

故答案为：3，3，4，|x 1|，1或﹣3，﹣1≤x≤2．

【总结升华】此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，体现了数形结合的优点．

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