一．皮克公式及简单应用

你能计算出下图点阵中多边形的面积吗？（四个相邻点围成的正方形面积是一个单位面积）.

你可以把多边形分成若干小正方形和三角形，分别计算面积后相加，这是一个不错的办法.也可以通过剪一剪、拼一拼，采用割补法，这个想法也很好.

1899年，犹太数学家皮克（Georg Alexander Pick）发现了一个被誉为"有史以来最重要的100个数学定理之一"的"皮克定理"（Pick's Theorem）。这个定理是这样说的：给定顶点座标均是整点（或正方形格子点）的简单多边形，计算点阵中多边形面积的公式：S=a 1/2 b -1

其中a表示多边形内部的点数，b表示多边形边界上的点数，S表示多边形的面积.在上图中，a=49，b=11，所以多边形面积S=49 1/2×11-1=53.5（单位面积）.

用皮克公式是不是更方便？我们可以通过间接计算的方法验证这个结果：

S＝S长方形－（S1＋S2＋S3＋S4＋S5）＝12×8－（1×4÷2＋6×4÷2＋6×2÷2＋6×4÷2＋7×3÷2）＝96－（2＋12＋6＋12＋10.5）＝96－42.5＝53.5。

哇，最终的结果正如皮克定理所说的那样，面积的计算居然可以通过数点数来得到，真的很神奇有木有？胡适先生曾给我们留下治学名言:"大胆猜想,小心求证"，这对我们解决一些问题有很好的启发作用。根据直觉和经验作出合理、合情的猜想，再对自己提出的猜想或直觉进行严谨的求证.

又如一张方格纸上，上面画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离都相等，这样两组平行线的交点，就是所谓格点．

方格纸中每个小正方形的边长为1，其中a表示多边形内部的格点数，b表示多边形边界上的格点数，S表示多边形的面积．

图①：a＝8，b＝4，可得S＝9； 图②：a＝5，b＝6，可得S＝7．

皮克公式的如何证明呢，可以将边界上的点看作是一个个圆，在多边形边上的圆其面积只有一半属于这个多边形，但多边形角上的圆就不一样了，将夹角的任一个边延长，与另一条边的夹角是外角，这角上的圆中外角部分计算面积时多算了，要除去，因多边形的外角和是360度，所以正好是个整圆．所以面积公式为

例1：求下面各图形的面积。

【解析】：图①是个平行四边形，周界上有10个格点，图内有4个格点，根据皮克面积公式，图①的面积为：4 10÷2-1=8；

图②是个梯形，周界上有8个格点，图内有2个格点，根据皮克面积公式，图②的面积为：2 8÷2-1=5；

图③是个三角形，周界上有6个格点，图内有4个格点，根据格点面积公式，图③的面积为：4 6÷2-1=6；

以上3个图形都是规则图形，但用数格子方法计算面积比用面积公式计算更简便。

图④是个六边形，周界上有8个格点，图内有9个格点，根据格点面积公式，图④的面积为：9 8÷2-1=12。

例2：下图中喇叭、小猫、小狗的面积各是多少？

【解析】：这三个图形都适合用格点面积公式计算面积。喇叭周界上有8个格点，图内没有格点，面积为：0 8÷2-1=3；小猫周界上有20个格点，图内有2个格点，面积为：2 20÷2-1=11；小狗图案可以看着是两个格点多边形组成，先分别求出每个格点多边形的面积，再求出总面积。躯干面积：0 12÷2-1=5；尾巴面积：0 4÷2-1=1；总面积：5 1=6。

像小狗图案这样，由两个或两个以上独立的格点多边形拼成的多边形，要求其总面积，一般先求出每个独立多边形的面积，再求和，以免发生漏数多个独立图形公共格点的错误。

3.（2018春•海淀区期中）如图的网格线是由边长为1的小正方形格子组成的，小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形，小明研究发现，内部含有3个格点的四边形的面积与该四边形边上的格点数有某种关系，请你观察图中的4个格点四边形．设内部含有3个格点的四边形的面积为S，其各边上格点的个数之和为 m，则S与m的关系为（ ）

4.用网格线将平面分成若干个面积为1的小等边三角形格子，小等边三角形的顶点，叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形．设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数和为x．

（1）图中的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如下表，请写出S与x之间的关系式．

答：S＝_______ ．

（2）请你再画出一些格点多边形，使这些多边形内部都有而且只有2格点．此时所画的各个多边形的面积S与它各边上格点的个数和x之间的关系式是：S＝_________ ．

（3）请你继续探索，当格点多边形内部有且只有n个格点时，猜想S与x有怎样的关系？答：S＝ _________．

【解答】（1）图中的格点多边形，其内部都只有一个格点，请你填写下表．

答根据以上信息，多边形的面积＝各边上格点个数，即S＝x；

（2）根据图可知：

正方形的面积是8，它的各边上格点的个数和x是6，中间格点数是2，8＝6 2；三角形的面积是5，它的各边上格点的个数和x是3，中间格点数是2，5＝3 2；五边形的面积是7，它的各边上格点的个数和x是5，中间格点数是2，7＝5 2；那么S＝x 2；

（3）通过上题探究可知：最后的1就是内部的格点数2n﹣2而得；

所以格点多边形面积＝各边上格点的个数和× （多边形内部格点数的2被﹣2）；即：S＝x （2n﹣2）；

二．皮克公式应用易错情形说明

如图所示，图是由外圈的八边形和内圈的长方形构成的"0"形图案，求这个"0"形的面积．

【错误解法一】图中八边形的边界格点数为14，长方形的边界格点数为10，八边形和长方形的内部格点数为0，由皮克公式可得：

【错误解法二】图中八边形的边界格点数为14，长方形的边界格点数为10，整个图形的内部格点数为2，由皮克公式可得：

【分析】以上错解是没有正确理解格点多边形的概念。图中的"0"其实不是一个单独的格点多边形，而是由两个格点多边形复合而成的图形，故不能直接套用格点公式，需要分开来计算。

三．皮克公式适用范围

四．皮克公式拓展

从一维特例出发。我们选择一维的特例来思考，此时不过是简单的"植树问题"。例如：在一条线段上每隔单位距离种一棵树（即在格子点上种树），两端皆种，问线段有多长？

我们观察到格子点可分成内点（interior points）与边界点（boundary points）两类。假设内点与边界点的个数分别为i与b(事实上 b=2)。显然线段之长 L 为：

我们也可以这样想：如果在相邻两格子之中点加以分割，得到许多小段，那么每一个内点所在的小段皆具有单位长度，而每一个边界所在的小段只有1/2单位长度。换言之，一个内点贡献一个单位长度，而一个边界点只贡献了1/2个单位长度。因此，线段的长度为：

（二）推广到二维平面

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