初中几何定值为常数4例

平面几何中的定值问题，是指当点或线按照某种条件运动时，图形发生位置、形状或大小的变化，图中的某些几何元素的几何量仍保持不变的情况。下面显示几例几何定值为常数的例子。

题目1：如图1，已知P为正方形ABCD的外接圆的劣弧上任意一点，求证（PA PC）／PB为定值。

解题思路：见图2，延长PC至E，使PA = EC，连接BE、AC。

方法①：因为 PA = EC，AB = BC，∠PAB = 90° α =∠ECB，故△PAB≌△ ECB。

PB = BE，∠PBE =∠P BC θ= 90°，R t△ PBE为等腰直角三角形。

PE ／PB =√ 2 = （PC EC）／PB = （PA PC）／PB。

方法②：在圆内接四边形ABCP中，应用托勒密定理证明相对简单。

题目2：图1，三角形ABC是等边三角形，P是三角形ABC内任意一点，作三角形三边的垂线

PD、PE、PF， 点D、E、F是垂足。证明：（PD PE PF) ／（AB AC BC) =√3／6。

解题思路：①图2，首先证明等边三角形内任意一点P到三边距离和等于一边上的高，分别连接PA、PB、PC，并作BC边上的高AG。

通过面积法可以证明AG = PD PE PF。

因为Rt三角形ABG中，∠BAG = 30°，

AG ／BG =√3 =AG／（1/2 BC）。

BC = 1／3 (AB AC BC)。

AG／（1/2 BC）=（PD PE PF）／（1/2 BC）=√3，

（PD PE PF) ／（AB AC BC) =√3／6。

②根据等边三角形的面积=√3／4 AB²，又等于P点与三个顶点相连形成三个三角形的面积和亦可证明。

题目3：如图1，点0是正三角形ABC内一点，G是三角形ABC的重心，直线 0G与三角形ABC或其延长线分别相交于点A'、B'、 C'，求证：A' O ／ A' G B' 0 ／ B' G C' 0 / C ' G = 3。

解题思路：先熟悉等边三角形有几个性质：等边三角形重心、内心 、外心、垂心四心合一；等边三角形内任意一点P到三边距离和等于一边上的高；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2/1。

图2中，设正三角形的高为H，分别过O点和G点作垂线OK₁、OK₂、OK₃和GH₁、GH₂、GH₃。则有：

OK₁ OK₂ OK₃=H，GH₁=GH₂=GH₃=1/3 H。

图中有三组相似三角形，根据相似比显示如下：

A' O／A' G B' 0／B' G C' 0 / C 'G

= OK₁/ GH₁ OK₂/ GH₂ OK₃/ GH₃

=( OK ₁ OK₂ OK₃)/ (1/3 H)

= H /( 1/3 H)

=3。

题目4：证明梅涅劳斯定理（梅氏定理）：图1，当一条直线交三角形ABC三边所在的直线BC、AC、AB分别于点D、E、F时，则有AF ／FB · BD ／DC · CE ／ EA = 1。

解题思路：见图2，过A点作FD的平行线交BD延长线于G，则

AF ／FB = GD ／DB，

CE ／EA = CD ／DG，

所以AF ／FB · BD ／DC · CE ／EA

= GD ／DB · BD ／DC · CD ／DG = 1。

相同的方法见图3，作CM∥FD或者CN∥AB亦可证明结论成立。

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