七年级下学期数学，寒假预习，垂线的概念与性质，6个知识点。当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。

01知识点一：垂线的定义

例如：如图，AB、CD互相垂直，0叫垂足，AB叫CD的垂线，CD也叫AB的垂线。可记为： AB⊥CD，垂足为O，或AB⊥CD干点O。如果遇到线段与线段、线段与射线、射线与射线、线段与直线垂直时，特指它们所在的直线互相垂直。

∵∠AOD=90°(已知)，∴AB⊥CD (垂直的定义)

∵AB⊥CD于点O(已知)，∴∠AOD=∠AOC=∠BOC=∠BOD =90° (垂直的定义)

例题1：小红在学习垂线时遇到了这样一个问题，请你帮她解决：如图，线段AB和CD相交于点O，则下列条件中能说明AB⊥CD的是（ ）

①∠AOD=90°； ②∠AOC=∠BOC：

③∠AOC=∠BOD； ④∠BOC ∠BOD=180°

⑤∠AOC ∠BOD=180°

分析：根据垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直进行判定即可。

解：①∠AOD=90°，可以得出AB⊥CD；②∠AOC=∠BOC，可以得出AB⊥CD：③∠AOC=∠BOD，不能得到AB⊥CD；④∠BOC ∠BOD=180°，不能得到AB⊥CD；⑤∠AOC ∠BOD=180°，可以得出AB⊥CD．故①②⑤共3个．

02知识点二：点到直线的距离

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离。

例题2：下列语句中：①有公共顶点且相等的角是对顶角；②直线外一点到这条直线的垂线段，叫作点到直线的距离；③互为邻补角的两个角的平分线互相垂直；④经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．其中正确的个数有（ ）

解：①具有公共顶点，两边互为反向延长线的两个角为对顶角，故①不正确．

②直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离，故②不正确．

③互为邻补角的两个角的和为180°，那么互为邻补角的两个角的平分线互相垂直，故③正确．

④同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故④不正确．

综上：正确的有③，共1个．

本题主要考查对顶角、点到直线的距离、邻补角、垂线，熟练掌握对顶角的定义、点到直线的距离、邻补角、垂线是解决本题的关键。

例题3：如图，P为直线l外一点，点A，B，C在直线l上，且PB⊥l，垂足为B，∠APC=90°，则下列语句错误（ ）

A．线段PB的长叫作点P到直线l的距离

B．线段AC的长叫作点C到直线AP的距离

C．PA、PB、PC三条线段中，PB是最短的

D．线段PA的长叫作点A到直线PC的距离

分析：根据“从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离”和“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”进行判断，即可解答。

解：A、线段PB的长度叫作点P到直线l的距离，故原说法正确，故A选项不符合题意；

B、线段PC的长度叫作点C到直线AP的距离，故原说法错误，故A选项符合题意；

C、PA、PB、PC三条线段中，PB最短，故原说法正确，故C选项不符合题意；

D、线段PA的长叫作点A到直线PC的距离，故原说法正确，故D选项不符合题意．

03知识点三：垂线的画法

垂线的画法：

（1）放：放直尺，直尺的一边要与已知直线重合；

（2）靠：靠三角板，把三角板的一直角边靠在直尺上；

（3）移：移动三角板到己知点；

（4）画线：沿着三角板的另一直角边画出垂线。

例题4：下列各图中，过直线l外点P画l的垂线CD，三角板操作正确的是（ ）

解：根据垂线的作法，用直角三角板的一条直角边与l重合，另一条直角边过点P后沿直角边画直线即可，选D。

04知识点四：垂线的性质

过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

注意：过一点画已知线段(或射线)的垂线，就是画这条线段(或射线)所在直线的垂线。

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

例题5：如图，某同学在体育课上跳远后留下的脚印，在图中画出了他的跳远距离，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）

A．两点之间，线段最短

B．垂线段最短

C．两点确定一条直线

D．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

​解：如图，某同学在体育课上跳远后留下的脚印，在图中画出了他的跳远距离，能正确解释这一现象的数学知识是垂线段最短．

05角度的计算

例题6：如图：AB、CD、EF交于O点，AB⊥CD，OG平分∠AOE，∠COE=28°，求∠AOG的度数．

解：∵AB⊥CD，∴∠AOC=90°．

∵∠FOD与∠BOE是对顶角，

∴∠COE=∠FOD=28°，

∴∠BOE=90°-∠COE=62°，

∴∠AOE=180°-62°=118°，

∵OG平分∠AOE，

∴∠AOG=1/2∠AOE=1/2×118°=59°．

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