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01单元解读

今天非常有幸给大家介绍一下平面几何中最帅气的图形——正方形。

有人经过多次调查得到结论：图是平面几何中最漂亮的图形。看到这个结论，作为一名数学老师，我觉得挺有意思。但我们都知道，漂亮是用来形容女性的，所以为了让数学不成为一门有遗憾的学科，我就一直在思考，应该给这个女性化的圆，找一个相辉映的男性——最帅气的平面几何图形。经过多次调查，并反复思考，我推荐了正方形作为这个最帅气的图形。

理由有三：一是正方形的方具有阳刚之气，与圆的阴柔之美相响应；二是方圆相对，反映现象生活世界的和谐之美；三是正方形具有优秀的品质。他兼具所有四边形、平行四边形、菱形、矩形、筝形、梯形等图形的优点，具有很强的适应能力与学习能力，属于典型的优质男。

这些优秀的品质，不正是我们做人的追求么？所以，还是把最帅的平面几何图形称号授予正方形吧！

既然如此优质，那么在考试中，正方形也经常坐在压轴题的交椅上，成为各省、直辖市和自治区的重点考查对象之一。

在正方形这个单元，以压轴题出现在考卷中十分的普遍，而且往往一考就难住众生。

本单元考查主要以正方形的综合题为主，可以结合的知道点几乎遍布初中三年的数学内容，比如正方形的性质和判定，全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理的综合运用、三角函数、一次函数．反比例函数、二次函数、角直角三角形、一元二次方程、不等式（组）等，经常结合图形的平移、图形的旋转、图形的翻折、图形的位似等图形变换来考查学生的综合理解能力和灵活运用能力。

这里出现的考题，往往难度大、过程复杂。需要大家在平时的复习中多下功夫进行梳理思考。比如训练题目中的第9题，一个看似简单的填空题，但大家要得到一个正确的答案，其书写过程本身就是一个非常“霸气”的，超过语文中的一道大作文题。

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02阅读提示

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03中考真题精选

04参考答案

05经典题目解析

一、选择题

2. 分析因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形。

3. 分析首先证明BH=AH，推出EG=BG，推出CE=CB，再证明△CEH≌△CBH，Rt△HFE≌Rt△HFA，利用全等三角形的性质即可一一判断．

4. 分析由正方形的性质得出，，证明得出，求出，在上取一点，使，则，，由直角三角形的性质得出，，设，则，，则，解得：，得出，即可得出结果．点评本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、直角三角形的性质等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．

5. 分析①由正方形证明OC＝OD，∠ODF＝∠OCE＝45°，∠COM＝∠DOF，便可得结论；②证明点O、E、C、F四点共圆，得∠EOG＝∠CFG，∠OEG＝∠FCG，进而得OGE∽△FGC便可；③先证明S△COE＝S△DOF，∴便可；④证明△OEG∽△OCE，得OG•OC＝OE2，再证明OG•AC＝EF2，再证明BE2 DF2＝EF2，得OG•AC＝BE2 DF2便可．

点评本题属于正方形的综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理的综合运用．解题时注意：全等三角形的对应边相等，相似三角形的对应边成比例．

6. 分析①由正方形的性质可以得出AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°，通过证明△ABE≌△ADE，就可以得出BE＝DE；②在EF上取一点G，使EG＝EC，连结CG，再通过条件证明△DEC≌△FGC就可以得出CE DE＝EF；

③过B作BM⊥AC交于M，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式即可求出高DM，根据三角形的面积公式即可求得S△DEC＝﹣；④解直角三角形求得DE，根据等边三角形性质得到CG＝CE，然后通过证得△DEH∽△CGH，求得＝＝ 1．

点评本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行证明是解此题的关键．

7.点评本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．

二、填空题

8. 分析首先证明△ADE≌△GDE，再求出∠AEF、∠AFE、∠GEF、∠GFE的度数，推出AE=EG=FG=AF，由此可以一一判断． 点评本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是通过计算发现角相等，学会这种证明角相等的方法，属于中考常考题型．

9. 考点PB：翻折变换（折叠问题）；LE：正方形的性质．分析如图1，作辅助线，构建全等三角形，根据全等三角形对应边相等证明FQ=BQ=PE=1，△DEF是等腰直角三角形，利用勾理计算DE=EF=，PD==3，如图2，由平行相似证明△DGC∽△FGA，列比例式可得FG和CG的长，从而得EG的长，根据△GHF是等腰直角三角形，得GH和FH的长，利用DE∥GM证明△DEN∽△MNH，则，得EN=，从而计算出△EMN各边的长，相加可得周长．

10. 分析当DG=，CG=2时，满足DG2 CG2=CD2，此时HG=，可得正方形EFGH的面积为13．当DG=8，CG=1时，满足DG2 CG2=CD2，此时HG=7，可得正方形EFGH的面积为49．

11. 分析设AD=x，则AB=x 2，利用折叠的性质得DF=AD，EA=EF，∠DFE=∠A=90°，则可判断四边形AEFD为正方形，所以AE=AD=x，再根据折叠的性质得DH=DC=x 2，则AH=AE﹣HE=x﹣1，然后根据勾股定理得到x2 （x﹣1）2=（x 2）2，再解方程求出x即可．

12. 分析①由折叠得AD＝AF＝AB，再由HL定理证明Rt△ABG≌Rt△AFG便可判定正误；②设BG＝GF＝x，由勾股定理可得（x a）2＝x2 （a）2，求得BG＝a，进而得GC＝GF，得∠GFC＝∠GCF，再证明∠AGB＝∠GCF，便可判断正误；

③设BG＝GF＝y，则CG＝a﹣y，由勾股定理得y的方程求得BG，GF，EF，再由同高的两个三角形的面积比等于底边之比，求得△CGF的面积，便可判断正误；④证明∠FEC＝∠FCE，得EF＝CF＝GF，进而得EG＝2DE，CG＝CE＝a﹣DE，由等腰直角三角形的斜边与直角边的关系式便可得结论，进而判断正误；

⑤设BG＝GF＝b，DE＝EF＝c，则CG＝a﹣b，CE＝a﹣c，由勾股定理得bc＝a2﹣ab﹣ac，再得△CEG的面积为BG•DE，再由五边形ABGED的面积加上△CEG的面积等于正方形的面积得结论，进而判断正误．

点评本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用折叠得到线段相等及角相等、正方形的性质的运用是解题的关键．涉及内容多而复杂，难度较大．

13. 分析由折叠及轴对称的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，先证△ABF≌△DAE，推出AF的长，再利用勾股定理求出BF的长，最后在Rt△ADF中利用面积法可求出AH的长，可进一步求出AG的长，GE的长．

点评本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，面积法求线段的长度等，解题关键是能够灵活运用正方形的性质和轴对称的性质．

三、证明题

14. 分析：（1）根据旋转的性质证明∠BCP=∠DCQ，得到△BCP≌△DCQ；（2）①根据全等的性质和对顶角相等即可得到答案；②根据等边三角形的性质和旋转的性质求出∠EPD=45°，∠EDP=45°，判断△DEP的形状．

点评：本题考查的是正方形的性质、三角形全等的判定和性质以及旋转的性质，掌握正方形的四条边相等、四个角都是直角，旋转的性质是解题的关键．

16. 分析（1）作ME∥AB、MF∥BC，证四边形BEMF是正方形得ME＝MF，再证∠CME＝∠FMN，从而得△MFN≌△MEC，据此可得证；

（2）由FM∥AD，EM∥CD知＝＝＝，据此得AF＝2.4，CE＝2.4，由△MFN≌△MEC知FN＝EC＝2.4，AN＝4.8，BN＝6﹣4.8＝1.2，从而得出答案；

（3）把△DMC绕点C逆时针旋转90°得到△BHC，连接GH，先证△MCG≌△HCG得MG＝HG，由BG：MG＝3：5可设BG＝3a，则MG＝GH＝5a，继而知BH＝4a，MD＝4a，由DM MG BG＝12a＝6得a＝，知BG＝，MG＝，证△MGC∽△NGB得＝，从而得出答案．

点评本题是相似三角形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质等知识点．

17. 分析（1）由正方形ABCD与正方形OEFG，对角线AC、BD，可得∠DOA＝∠DOC＝90°，∠GOE＝90°，即可证得∠GOD＝∠COE，因DO＝OC，GO＝EO，则可利用“边角边”即可证两三角形全等

（2）过点M作MH⊥DO交DO于点H，由于∠MDB＝45°，由可得DH，MH 长，从而求得HO，即可求得MO，再通过MH∥DG，易证得△OHM∽△ODG，则有＝，求得GO即为正方形OEFG的边长．

点评本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，比例的性质，直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，此题是一个拔高的题目，有一定的难度．

18. 分析（1）先判断出，再由四边形是正方形，得出，，即可得出结论；

（2）设，先求出，进而得出，再求出，，再判断出，进而判断出，即可得出结论；

（3）先求出，再求出，再判断出，求出，再用勾股定理求出，最后判断出，得出，即可得出结论．

点评此题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出是解本题的关键．

19. 分析（1）证明，得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论；

（2）如图，连接，交于，计算和的长，得，根据三角函数可得的长，从而得和的长，利用勾股定理计算的长，最后根据四边的和计算结论．

点评此题主要考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，三角函数和全等三角形的判定等知识．充分利用正方形的特殊性质来找到全等的条件从而判定全等后利用全等三角形的性质解题，第二问有难度，恰当地作出辅助线是关键．

21. 分析：根据正方形的性质，可得AB=AD，∠DAB=∠ABC=90°，根据余角的性质，可得∠ADE=∠BAF，根据全等三角形的判定与性质，可得BF与AE的关系，再根据等量代换，可得答案．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了正方形的性质，余角的性质，全等三角形的判定与性质，等量代换．

　

22. 考点：四边形综合题．分析（1）根据平行四边形的想知道的AD=AC，AD⊥AC，连接CE，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；

（2）根据全等三角形的性质得到CF=AD，等量代换得到AC=CF，于是得到CP=AB=AE，根据平行四边形的判定定理即可得到四边形ACPE为平行四边形；

（3）过E作EM⊥DA交DA的延长线于M，过E作EN⊥FC交FC的延长线于N，证得△AME≌△CNE，△ADE≌△CFE，根据全等三角形的性质即可得到结论．

23. 考点：四边形综合题．分析（1）根据正方形的性质证明△APE≌△CFE，可得结论；（2）分别证明∠PAE=45°和∠BAC=45°，则∠CAE=90°，即△ACE是直角三角形；（3）分别计算PG和BG的长，利用平行线分线段成比例定理列比例式得：，即，

24. 分析（1）通过证明△ABF≌△DEA得到BF=AE；（2）设AE=x，则BF=x，DE=AF=2，利用四边形ABED的面积等于△ABE的面积与△ADE的面积之和得到•x•x •x•2=24，解方程求出x得到AE=BF=6，则EF=x﹣2=4，然后利用勾股定理计算出BE，最后利用正弦的定义求解．

25. 分析（1）利用同角的余角相等判断出∠BAG=∠DAE，进而得出△ADE≌△BAF，即可得出结论；（2）先判断出△ABG∽△DEA，进而得出=k，再根据锐角三角函数即可得出结论；（3）先判断出S1=•S△BHG，再判出S2=S△BHG，即可得出结论．

26. 分析（1）过点作于，作于，由正方形的性质得出，由角平分线的性质得出，证得四边形是正方形，得出，证出，证明，即可得出结论；（2）证明，得出，求出，由勾股定理得出，由直角三角形的性质得出，，证明，得出，求出，即可得出结果；

（3）过点作于，证明得出，求出，得出，，由勾股定理得出，由三角形面积公式即可得出结果．

点评本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、角平分线的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似和三角形全等是解题的关键．

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