大家对乘法口诀一定熟记于心，例如二二得四、三三见九，四四一十六，五五二十五，因此四的算术平方根为二，九的算术平方根为三，十六的算术平方根是四，二十五的算术平方根是五。

然而，负数的平方根是什么样呢？square(-1)和square(-5)之类的表达式有什么意义吗？

如果从有理数（实数）的角度来揣想这样的数，你一定会得出结论：这样的式子没有任何意义，你一定不是一个人在战斗，12世纪的印度数学家拜斯伽罗已经给出结论：“正数的平方是正数，负数的平方也是正数。因此一个正数的平方根是两重的：一个正数和一个负数。负数没有平方根，因为负数并不是平方数。”但是数学家的脾气倔强得很，如果有些看起来没有意义的东西不断在数学公式中冒头，他们就会尽可能创造出一些意义来。那么负数的平方根就在很多地方冒过头，既在古老而简单的算术问题上出现，也在20世纪相对论的时空结合问题上露面。那么谁是第一个“吃螃蟹”的勇士呢？是16世纪的意大利数学家卡尔丹（Cardan）。在讨论是否有可能将10分成两部分，使两者的乘积等于40时，他指出：这个问题没有任何有理解，然而，如果把答案写成5 square(15)和5-square(15)这样两个怪模怪样的表达式，就可以满足要求了。

既然有人敢把负数的平方根写下来，并且，尽管这有点想入非非，却把10分成两个乘起来等于40的事办成了；这样，有人起了头，负数的平方根—卡尔丹给它起了个非凡的名字叫“虚数（imaginary number）”—被频繁地被科学家们所使用，虽则总是伴有很大保留，并且要提出种种借口。在著名瑞士科学家欧拉（Euler，数神，曾听过高斯讲课）1770年发表的代数著作中，有许多地方用到了虚数。然而，对这种数，他又加上了这样一个掣（che四声）肘的评语：“一切形如square(-1)和square(-5)的数学式，都是不可能有的、想象的数，因为它们所表示的是负数的平方根。对于这类数，我们只能断言，它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么。它们纯属虚幻。”但是，尽管有这些非难和遁词，虚数还是迅速成为分数的根式中无法避免的东西。没有它们，简直可以说寸步难行。不妨说，虚数构成了实数在镜子里的幻想。而且正像我们从基数1可得到所有实数一样，我们可以把square(-1)作为虚数的基数，从而得到所有的虚数。通常写作i（imaginary number）。

虚数闯进数学的领域之后，足足有两个世纪的时间，一直披着一张神秘的、不可思议的面纱。直到两个业余数学家给虚数作出了简单的几何解释以后，这张面纱才被揭去。这两个人是：测绘员威塞尔（Wessel），挪威人；会计师阿尔刚（RobertArgand），法国巴黎人。

依靠（-1）的平方根这个虚数，人们还找到了另一个宝藏，这就是发现普通的三维时间可以和时间结合，从而形成遵从思维几何学规律的思维空间。