我们经常使用这样的方式来表示一个向量，比如(3,2),之所以可以这样表示是存在前提的，这个前提就是我们默认以(1,0)和(0,1)叫做二维空间中的一组基，只有以它们为默认的一组基的时候，向量才可以这样的表示。也就是下方蓝色线所示的：

那么这个向量(红色)在x轴投影为3，在y轴的投影为2。那么这个向量就可以表示为(3,2)

总的来说可以通过下方的格式来表示：

其中x=3，y=2。所以总的来说要准确描述向量，首先要确定一组基，然后给出在基所在的各个直线上的投影值，就可以了。之所以我们没有确定一组基而直接说向量表示，是因为这组基是默认的，我们从小到大都使用这组基。选择(1,0)和(0,1)为基，会方便表示，因为它们分别是x和y轴正方向上的单位向量。

要想成为基，必须满足线性无关的条件，这是必须的。为了让基更好用，我们一般让基正交，这样的基更方便表示向量。所以只要满足线性无关的条件就可以表示为基，比如(1,1)和(-1,1)也可以成为一组基，因为它们线性无关。

同时一般我们还想让基的模为1，因为我们知道准确描述向量，首先要确定一组基，然后给出在基所在的各个直线上的投影值。根据a.b=|a||b|cosθ可知，当b的模为1的时候，此时a.b=|a|cosθ，也就是说可以通过a与b的点积来直接计算投影，也就是向量在这个基下的坐标，那么计算投影就很方面了。

基变成模为1非常简单，单位化就好了，比如(1,1)和(-1,1)可以单位化为

那么这个向量(3,2)在这个新基下的坐标就是与它的点基了，也就是

我们通过可视化的方式来看一下：

蓝色的就是新的基，而红色的就是在这个新的基的基础下的坐标了