一道高中立体几何题-求长方体的棱长之和

一个长方体的体积为8， 其表面积是32， 并且三个棱长为等比数列。求这个长方体的所有棱长之和。

解：

解法1：设三个不同的棱长为x, y, z, 那么根据已知的条件，

xyz=8,

2(xy yz zx)=32,

y·y=xz

将三个式子带入第一个中有：

y=2

因此xz=4,

再把y=2 和 xz=4 带入2(xy yz zx)=32,

可以得出：

2（xy yz 4）=32

即y(x z)=12,

所以x z=6,

因而x y z=8,

最后所有的棱长之和为：

4（x y z）=32

总结：一般来说在求某种代数式的值时，尽量不要求出其中的每个未知数，而用代数运算求出这个表达式为好。 下面的解法2显然比解法1要繁琐。

这道题如果求出x ,y 和z 的解是可行的，但有些情况下是不可求解的。

解法2：既然三个棱长为等比数列， 一般巧妙的方法是用两个数就可以表达三个等比数列， 设三个等比数列为：b/r, b, br

根据已知有：

解出b=2,

这样等比数列为2/r, 2, 2r,

带入表面积公式：

解这个方程：

这里取一个r即可，只不过一个是递增，另一个递减，我们取加号的r值， 三个数为：

所以这三个数相加为：

最后棱长的总和为4x8=32