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大一微积分数列的极限教学(我的大学微积分01)
更新时间:2024-07-25 08:54:27
作者:“逃学博士”原创不易,转载请注明出处!01 开场白

作为我的大学《微积分》的第一讲,我思前想后要以什么知识点作为内容。索性找到一本大学的的教材,从第一章开始讲。这样也方便本科生参照学习。

我选的教材是《大学数学教程》,作者姜东平和江惠坤

大一微积分数列的极限教学(我的大学微积分01)1

02 数列

高等数学接触的第一个概念是数列。

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数列的标准定义

顾名思义,数列就是有共同特征(通项)的一列数。

如果我们假设一数列的通项为:

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数列通项

那么,我们将 n从1~150的点全部动态绘制出来,可以总结出哪些知识点呢?

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图1:n ~ (0, 150)

从图1中,我们发现A点的运动轨迹中后一个点值都比前一个要大。这就引发了数列单调性的定义。

2 - 1 数列的单调性

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递增数列和不减数列

图1中绘制的数列既是一个递增数列,如果结合通项去定义递增数列,如下:

  • 递增数列:第 n - 1 项的值 < 第n项的值。
  • 不减数列:第 n - 1 项的值 <= 第n项的值。

如果我们将图1中的数列通项乘以 -1,如下所示:

大一微积分数列的极限教学(我的大学微积分01)6

数列通项

数列的动态图如图2所示:

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图2:n ~ (0, 150)

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递减数列和不增数列

  • 递减数列:第 n - 1 项的值 > 第n项的值。
  • 不增数列:第 n - 1 项的值 >= 第n项的值。

同时,递增、递减、不增、不减数列统称为单调数列

图1中,随着 n 的增大,数列中的值不断逼近 2

图2中,随着 n 的增大,数列中的值不断逼近 -2

那么,我们回过头来看图1,可以将 x轴y = 2 这两条线规定了数列中任何一点的最大活动范围。图1中的数列是递增数列,且递增的极限是无限逼近 2。介于此,可以引出第二个的定义:有界数列

2 既是图1中数列的上界

-2 既是图2中数列的下界

2 - 2 数列的极限

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数列的极限

  • 误区1:有界数列一定收敛有极限

误区1是初学高等数学最容易搞混的知识点。我们找一个最简单的例子:

大一微积分数列的极限教学(我的大学微积分01)10

对应的动态图如下:

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图3:有界不收敛

如图3所示,数列随着 n 的增大,一直在 -1 和 1之间震荡。基于有界数列的定义,该数列是同时拥有 上界(1)和下界(-1)的数列。

但是,随着 n 的增大,数列却无法收敛于 单一的值,那么自然也就不存在收敛和极限了。图3所示的数列为 发散数列

但是反过来说,收敛数列一定有界 却是正确的表达,这个很容易理解,不加赘述。

总结

一直在犹豫是做成科普文(诙谐幽默点)还是比较正规的码字。希望读者朋友们给点建议。

数列的讨论是为了之后将数列收敛推广到函数收敛。我们第一次接触数列应该是在高中,此次的知识点回顾是希望打下一个结实的基础。

我们下一节再见,更多好玩的动图演示即将推出。

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