一道高中题-求线段之比值

在三角形ABC中， P是边AB的点，且AP/PB=1:2, N是AC上的点，且CN/NA=1:4, AM是BC的中线，连接PN与AM交于点G， 求AG/GM的值。

解：此题要用到三角形面积的一个引理S=(absinC)/2

如图设∠BAM=α，∠MAC=β

设三角形ABC的面积为S, 三角形APG的面积为x, 三角形AGN的面积为y,

因为M是中点， 所以

三角形ABM的面积=三角形AMC的面积=S/2

因此三角形APG和三角形ABM的面积之比为：

同样地类比：

将两个式子组合在一起可以求得x和y关系式：

3x=5y/4

因此三角形APN的面积=x y=17x/5

三角形APN和三角形ABC的面积之比

由此得出

将此带入前面的等式中得出

AG/AM=8/17

这样可以求出AG/GM=8/9

实际上这道题如果理解“同顶角的三角形面积之比等于边长之积的比值”这个定理，初中数学也可以解这道题。