在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为AC的中点．

（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明；

（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．

图1

【涉及考点】全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理．

【解题分析】

（1）延长DF交AB于点G，根据三角形中位线的判定得出点G为AB的中点，根据中位线的性质及已知条件AC＝BC，得出DC＝DG，从而EC＝FG，易证∠1＝∠2＝90°﹣∠DFC，∠CEF＝∠FGH＝135°，由AAS证出△CEF≌△FGH．∴CF＝FH．

（2）通过证明△CEF≌△FGH（ASA）得出．

【详细解答】解：（1）FH与FC的数量关系是：FH＝FC．

证明如下：延长DF交AB于点G，

图2

由题意，知∠EDF＝∠ACB＝90°，DE＝DF，

∴DG∥CB，

∵点D为AC的中点，

∴点G为AB的中点，且DC=1/2AC，

∴DG为△ABC的中位线，

∴DG=1/2BC．

∵AC＝BC，

∴DC＝DG，

∴DC﹣DE＝DG﹣DF，

即EC＝FG．

∵∠EDF＝90°，FH⊥FC，

∴∠1 ∠CFD＝90°，∠2 ∠CFD＝90°，

∴∠1＝∠2．

∵△DEF与△ADG都是等腰直角三角形，

∴∠DEF＝∠DGA＝45°，

∴∠CEF＝∠FGH＝135°，

∴△CEF≌△FGH，

∴CF＝FH．

（2）FH与FC仍然相等．

理由：由题意可得出：DF＝DE，

∴∠DFE＝∠DEF＝45°，

∵AC＝BC，

∴∠A＝∠CBA＝45°，

∵DF∥BC，

∴∠CBA＝∠FGB＝45°，

∴∠FGH＝∠CEF＝45°，

∵点D为AC的中点，DF∥BC，

∴DG＝1/2BC，DC＝1/2AC，

∴DG＝DC，

∴EC＝GF，

∵∠DFC＝∠FCB，

∴∠GFH＝∠FCE，

在△FCE和△HFG中

角CEF=角FGH,EC=GF,角ECF=角GFH

∴△FCE≌△HFG（ASA），

∴HF＝FC．

图3

【总结】

这道题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识，综合性强，难度较大．

图4

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