拉普拉斯变换，是工程数学中常用的一种积分变换，它是为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换，由法国数学家提出。

拉普拉斯是法国16世纪—17世纪的数学家、物理学家、天文学家，在他研究的牛顿引力场和太阳系的问题时候，由于想将涉及的积分微分方程简单解决，从而提出了用他名字命名的拉普拉斯变换公式。

拉普拉斯的主要作用就是简化微积分的运算，特别是对于线性微分方程的求解，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化，举个例子吧，计算下面的式子：

是不是很复杂，几乎无从下手，但是如果转化为对数求解之后，就变成以下式子：

拉普拉斯是一种积分变换，顾名思义，积分变换的实质就是通过积分运算形式，讲一个函数变成另一个函数的转变过程。如果f(t)是一个关于t的函数，在符合拉普拉斯变换条件下(为简化说明，条件先不说，以免容易头疼），那么f(t)的拉普拉斯变换就可以表示为如下式子：

也可以表示为£[f(t）]，其中L实际应为L的花体式样，也就是拉普拉斯第一个字母，可是我打不出来真正的花体······

拉普拉斯变换的条件，必须是的F(S)等号右边的广义积分在S区域内收敛，所谓收敛其实就是指该函数的变量t在趋向无穷的时候，其通项的值趋向于某一个数值。如下图所示，当t趋向无穷时，通项值趋向于0。这也是拉普拉斯变换存在的先决条件，e^（-σt）也称为收敛因子（σ为任意实数）。

也就是说，不管函数f(t)是否收敛，但是增加了收敛因子后，它一定是收敛的，那么它的拉普拉斯变换就一定存在了（这货是不是辣条啊，没有它搞不定的@@）。

举一个例子吧，假设一个一次函数f(t)=mt（t≥0，m为常数），求它的拉普拉斯变换，求解过程如下：

一些常用的拉普拉斯变换公式：

正弦和余弦的拉普拉斯变换

拉普拉斯变换的作用在于：对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。特别对于求解线性微分方程尤为有效，它可把复杂的微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使得计算过程大为简化。毕竟，时域的信号，我们伤不起。

拉普拉斯反变换就不多说，本质一样，逆运算而已，公式如下：

在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。如有一些信号处理的计算在时域是很难或者无法实现的，但是在复频域却可以实现，而将时域转换成复频域运用的就是拉普拉斯变换。

所以说，一个信号的拉普拉斯变换物理意义在于它是这个信号的复指数信号响应的h(t)的频域，如y(t)=H(s)*e^st，这里H(s)=∫h(t)*e^-st dt就称作h(t)的拉普拉斯变换。

了解拉普拉斯的含义和本质，那么学习起来一定会事半功倍。如同春天里面充足养分和雨露的果树，到了秋天，一定是枝头满挂丰收果。