根据定义，实数可以分为两大类：一类可以表示为分数，另一类则无法表示为分数。

为了尽量避免歧义，还是做个简要声明如下。

根据有理数的定义，我们可以证明有理数像自然数一样多，有无穷多个。但是即便数量如此之多，全部有理数可以塞进一个任意小的开区间内，也就是说全部有理数的大小是0。如果用一个容器把这些数字一个个的摆放进去，这个容器可以任意小。

接下来，我们计算这个有理数集的大小。

第一步：随意取一个自然数m，对Q中任意有理数qn，可以构造一个开区间，使得qn在这个开区间中。如下即为开区间构造，以及这个开区间的长度。

第二步：所有有理数的大小，小于所有这样的开区间的长度之和。以L(Q)表示Q的大小，即有下述关系：

第三步：由于m是随意取值的自然数，当m趋于无穷大时，就可以得到L(Q)的值。

在Rudin编著的《数学分析》，或者国内学者编著的《实变函数》中，都曾经给出有理数的“数量”严格小于无理数“数量”的证明。其实，通过对有理数的大小求和，可以从另一个角度“发现”这个事实。

• 实轴的大小是无穷（也可以在某个长度不为0的区间内讨论），而有理数的大小是0；

• 实轴由有理数和无理数组成。

所以，无理数更多一些咯。。。最后这个不是严格证明，仅供娱乐！