假设 A, B 是两个给定的集合. 我们定义它们的 Cartesian 乘积.

(1) Cartesian 乘积 (Cartesian product):

A × B := {(a, b)|a ∈ A 且 b ∈ B}.

这里的符号 (a, b) 表示 a 和 b 的有序对，其定义如下.

(2) a 和 b 的有序对 (ordered pair) 定义为

(a, b) := {{a}, {a, b}}.

这里 a 称为有序对的第一坐标 (first coordinate) 而 b 称为有序对的第二坐标 (second

coordinate). 当 a = b 时, (a, b) = {{a}}.

对 x = (a, b) ∈ A × B, 定义投影映射 (projection)

pr_1(x) = a, pr_2(x) = b.

(3) 怎么去理解有序对呢? 我们考虑简单的情形, 即 A 是平面坐标系 xy 中 x 轴的子集,

而 B 是 y 轴的子集. 现在我们把 A × B = {(a, b)|a ∈ A 且 b ∈ B} 一一对应到平面

上的一些点.

具体操作如下: 任取 (a, b) ∈ A × B, 按照有序对的定义得到 (a, b) = {{a}, {a, b}}.

先考虑 a = b 情形, 此时 (a, b) = (a, a) = {{a}}, 我们在 xy 平面上画点 P 使得 P 的

横坐标为 a 而纵坐标也是 a; 如果利用坐标记号的话, P = (a, a), 和这里有序对的记

号相同. 再考虑 a 不等于 b 情形, 此时 {a, b} 6= {a}, 从而集合 {{a}, {a, b}} 包含两个元

素; 我们在 xy 平面上画点 P 使得 P 的横坐标为 a 而纵坐标为 b; 如果利用坐标记号

的话, P = (a, b), 和这里有序对的记号相同. 这样我们在数集的情形下, 可以把有序

对和坐标对应起来.

坐标有个重要的性质是 (x_1, y_1) = (x_2, y_2) 当且仅当 x_1 = y_1 和 x_2 = y_2. 下面我们

要证明, 这个性质对有序对也是成立的.

(4) 给定两个有序对 (a_1, b_1) 和 (a_2, b_2), 那么

(a_1, b_1) = (a_2, b_2) 当且仅当 a_1 = a_2 和 b_1 = b_2

证: 先假设 (a1, b1) = (a2, b2) 成立. 如果 a1 = b1, 则得到

{{a2}, {a2, b2}} = (a2, b2) = (a1, b1) = {{a1}},

此时必有 {a2} = {a2, b2} = {a1} 从而得到 a2 = b2 = a1 = b1. 如果 a1不等于b1, 则得到

{{a2}, {a2, b2}} = (a2, b2) = (a1, b1) = {{a1}, {a1, b1}}.

因为等号右边集合包含两个元素, 所以等号左边集合也必须包含两个元素, 从而导致 a2不等于b2. 因此, {a2} = {a1}, {a2, b2} = {a1, b1}. 即得到 a2 = a1 和 b1 = b2. □

(5) 如果 A = {a, b} 和 B = {i, j, k}, 则得到

A × B = {(a, i),(b, i),(a, j),(b, j),(a, k),(b, k)}.

易证 A × B不等于B × A 和

A × B = ∅ ⇐⇒ A = ∅ 或 B = ∅.

如果 A = B = (0, 1) ⊂ R, 则 A × B 就是经过原点 (0, 0) 且位于第一象限的边长为 1 的正

方形的内部.

两个集合的 Cartesian 乘积可推广到 n 个集合的 Cartesian 乘积:

比如考虑三个集合 X_1, X_2 和 X_3, 此时我们首先定义 X_1 和 X_2 的 Cartesian 乘积 X_1 × X_2,

然后把这个新的集合和 X_3 再做一次 Cartesian 乘积就得到

X_1 × X_2 × X_3 := (X_1 × X_2) × X_3.

如果 x ∈ X_1 × · · · × X_n, 我们用 (x_1, · · · , x_n) 来记 (· · ·((x_1 , x_2), x_3), · · · , x_n) 并称 x_i :=pr_i(x) 是 x 的第 i 个分量 (i-th component). 当所有 X_i 都等于 X 时, 上述乘积记为 X^n.