向量，顾名思义，就是既有方向又有大小的量，在物理里面又称为矢量。物理里面，像位移、速度、加速度、力等物理量，都是矢量。

从向量的定义，我们不难看出，向量具有几何方面的特性——方向，又具有代数方面的特性——大小。这就意味着，向量先天然的就是一个代数与几何完美结合的典范，具有很强的解析性。这也意味着，向量问题的处理，经常体现数形结合的思想，很多时候是比较灵活的，需要我们多加琢磨。

其实在以前的高中数学教材里，是没有向量这一模块的知识的。对于向量，我们数学老师的感受是非常深刻的，因为向量的引入，极大程度上降低了某些传统知识的讲解和学习，像三角恒等式、余弦定理、柯西不等式等等。毫不夸张的说，向量就是一把利器，既利于老师教学，也利于学生学习。

然而，遗憾的是，部分老师自己不太接受这个新的工具（其实也不新了，向量引入高中教材，已经有16年之久了），还是用传统的方法来讲解上述定理（余弦定理等）。诚然，传统的方法也体现了很丰富的数学思想，但较之向量还是要逊色一些。再者，我们常常鼓励孩子们要接受新知识，新方法，我们老师又何尝不是如此呢。

今天，我们就来讲讲，采用向量这个工具，如何在上述定理的学习中发挥巧妙的作用，一起来感受向量在数形结合里展现的奇妙。

一、两角余弦差公式

先来看看两角余弦差公式的表述形式：

我们知道，在所有三角恒等式里，两角余弦差公式是最重要的公式，没有之一！为什么？因为可以通过这个公式，推导出剩下的所有的三角恒等式，这回你知道我没有虚张声势了吧。正是如此，这个公式的证明就显得尤为重要。

我们来看看采取向量的方法，如何证明这个公式。

我们先给一个单位圆，以及圆上的任意两点，A，B。

由图可知：

∠AOB实际上就是向量OA与向量OB的夹角，那么，由向量的内积定义：

因为AB两点在单位圆上，所以这两个向量的模都是1，所以：

如此，我们就用向量证明了两角的余弦差公式，是不是非常简洁啊。大家感兴趣的话，可以搜索一下传统的证明方式，是比较繁琐的。

二、余弦定理

余弦定理是解三角形里一个非常重要的定理，用向量的方式也是极其的简洁。

在三角形ABC中，余弦定理表述如下：

我们给一个三角形，当然，这是任意给的三角形，再给三个向量，即向量AB，向量AC，向量BC。

AB = c，AC = b，BC = a

在三角形ABC中，根据向量的减法，我们可以得到：

在向量的计算中，我们知道，一个向量的平方就等于这个向量模的平方，所以上式进行模的替换，就得到了余弦定理：

这里补充一句，解三角形里，还有一个定理，叫做正弦定理。正弦定理的证明，也是一个非常美妙的过程，是我最喜欢的高中数学定理证明之一，让人看了心情愉悦。感兴趣的朋友可以自己查阅资料看一下。

三、柯西不等式

我们先来看看柯西不等式的二维形式：

不用向量的方式，二维形式的柯西不等式还是比较容易证明的，左边展开进行配方就可以了，同学们可自行尝试证明一下。在用向量证明之前，我们先说明一个向量内积运算的基本性质。

其实这个性质就是在说，两个向量模的乘积，要大于等于他们的内积。这个性质是很显然的，因为内积运算的实质，本就是一个向量的模在另一个向量上的投影，再与该向量的模相乘。自然，这个乘积的结果，比直接拿两个模相乘要小，因为投影的长度，肯定要小于等于自身的长度嘛。

其实讲到这里，我们发现，柯西不等式已经不用证明了。什么？不是还没有开始吗，就已经结束了！大家看柯西不等式的形式：

左边不就相当于两个向量的模乘起来平方吗？右边呢？是不是就是内积运算之后平方啊。所以在向量的性质之下，柯西不等式简直就不用证明了，因为这本就是一个东西啊！

向量的特别之处在于，还可以很方便的进行维度拓展，比如柯西不等式的N维形式：

只需要把二维向量，拓展到N维向量，是不是就得到这个结论了。如果采取代数的方式，还是要费点功夫才可以的。由此，我们也看出了向量这个工具的强大！

当然，向量在高中数学中还有很多妙用，比如在解析几何直线那个模块，求点到直线的距离公式。如果不用向量的方法，采取传统的解析几何方法，不管是等面积法，还是利用段长度公式，都是不小的运算量。但是，采取向量的方法，可以非常简洁的得到点到距离公式。我发的视频里有这个具体证明的方法，感兴趣的同学可以去看一看，这里就不再论述了。

通过这几个例子，我们切身体会到了向量这个工具的强大，堪称数与形相结合的典范啊！在很多高考题里，也展现了极其巧妙的用处，改天我们再详细举几个高考真题来说明一下，届时再来感受向量里的数形结合思维！

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