要理解矩阵乘积，首先得理解矩阵。

一、什么是矩阵

在线性代数里，矩阵的身影随处可见甚至我们一直在算矩阵，可矩阵到底是什么东西，矩阵乘积又为什么这么规定呢，而且这样一种怪异的乘法规则在实践中也不会出现什么问题......

事实上，矩阵代表了一个特定的线性变换。

我们知道线性变换是操纵空间的一种手段，这种变换不用去观察，只需要几个数字就能描述清楚，那就是变换后基向量的坐标列，以这些坐标为列所构成的矩阵为我们提供了一种描述线性变换的语言，所以说矩阵就是线性空间里线性变换的描述。

二、矩阵与线性变换

而对于一个线性变换，只要你选定一组基，那么就可以找到一个矩阵来描述这个线性变换。换一组基，就得到一个不同的矩阵。所有这些矩阵都是这同一个线性变换的描述，但又都不是线性变换本身。当然，这一句话里面还隐藏了一个信息：矩阵还可以作为一组基的描述，比如我们最常见的单位矩阵I，它的列向量就可以看作一组基，而且不要忘记我们也会把矩阵称为列向量组或者行向量组。

向量是线性空间的基本研究对象，按理说要把向量表示出来，就要把它放在一个坐标系中去度量它，然后把度量的结果（向量在各个坐标轴上的投影值）按一定顺序列在一起，这就成了我们平时所见的向量表示形式。你选择的坐标系（基）不同，得出来的向量的表示就不同。向量还是那个向量，选择的坐标系不同，其表示方式就不同。因此，按道理来说，每写出一个向量的表示，都应该声明一下这个表示是在哪个坐标系中度量出来的。表示的方式是Ma，也就是说有一个向量，在M矩阵表示的坐标系中度量出来的结果为a。M矩阵表示出来的那个坐标系，由一组基组成，而那组基也是由向量组成的，同样存在这组向量是在哪个坐标系下度量而成的问题。也就是说，表述一个矩阵也应该要指明其所处的基准坐标系。所谓M其实是IM，也就是说，M中那组基的度量是在I坐标系中得出的。

三、矩阵乘积

根据上述视角来看，M×N不是什么矩阵乘法，而是声明了一个在M坐标系中量出的另一个坐标系N，其中M本身是在I坐标系中度量出来的。从变换角度来讲，矩阵乘积表示两个线性变化先后作用。如果把N看作是坐标系的一组基，那么M×N也可以理解成对组成坐标系N的每一个向量施加M变换。

我们知道，矩阵既可以描述变换还可以描述坐标系。举个例子来看，比如要把点(1,1)变到点(3,4)去，可以有两种做法。

第一，坐标系不动，点动，把(1,1)点挪到(3,4)去。

第二，点不动，坐标系动，让x轴的度量（单位向量）变成原来的1/3，让y轴的度量（单位向量）变成原先的1/4，这样点还是那个点，可是点的坐标就变成(3,4)了。

方式不同，结果是一样的。第一种方式刻画的就是矩阵用来描述变换，第二种方式刻画的就是矩阵可以用来描述坐标系。

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