A QUARK

扯闲篇儿

为什么a×b=b×a

这周说说乘法交换率

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先回顾一下乘法的定义

乘法是满足以下两种规则的运算：

1. 对于任意自然数m，0 × m = 0

2. 对于任意自然数m和n，n' × m = n × m m

与以往一样，

这次的证明也分

一，证明：

对自然数m，m×0=0

∵当m=0时，0×0=0

（乘法定义1）

现假定m×0=0

∴m'×0=m×0 0=0 0

（乘法定义2）

∴m'×0=0

（加法定义1）

∴对任意自然数m，均有m×0=0

（皮亚诺公理5）

证毕

二，证明：

对任意自然数n和m，n×m'=n×m n

当n=0时

∵0×m'=0×m 0

（乘法定义2）

∴0×m'=0

（乘法定义）

假定n×m'=n×m n

求证n'×m'=n'×m n'

∵n'×m'=n×m' m'

（乘法定义2）

n×m'=n×m n

（假设）

∴n'×m'=n×m n m'

∴n'×m'=n×m (n m)'

（加法结合律＆加法定义2）

∵n'×m n'=n×m n' m

（乘法定义2）

∴n'×m'=n×m (n m)'

（加法结合律＆加法定义2）

∴n'×m'=n'×m n'

∴对任意自然数n和m，n×m'=n×m n

（皮亚诺公理5）

证毕

三，证明：

对任意自然数n和m，n×m=m×n

当n=0时，

0×m=0

（乘法定义1）

m×0=0

（已证）

∴0 m=m 0

假设n×m=m×n

求证：n'×m=m×n'

∵n'×m=n×m m

（乘法定义2）

n×m=m×n

（假设）

∴n'×m=m×n m

∵m×n'=m×n m

(乘法定义2)

∴n'×m=m×n'

∴对任意自然数n、m，均有n×m=m×n

（皮亚诺公理5）

证毕

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