一、在正方形中填充圆形

前面提到过mtaplotlib支持创建其他几何图形。Polygon块特别有趣，因为我们可以用它绘制具有不同边数的多边形。以下是我们绘制一个正方形（每条边的长度为4的）方式：

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''' Draw a square ''' from Matplotlib import pyplot as plt def draw_square(): ax = plt.axes(xlim=(0, 6), ylim=(0, 6)) square = plt.Polygon([(1,1), (5,1), (5,5), (1, 5)， closed=True]) ax.add_patch(square) ax.axis('equal') plt.show() if __name__ == '__main__': draw_square()

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Polygon对象是通过将顶点左边编排作为第一个输入参数来传入的，因为我们要绘制一个正方形，所以修要传入四个点的坐标：(1,1), (5,1), (5,5), (1, 5)，令closed=True，告诉matplotlib我们要绘制一个封闭的正方形，即起点和终点是相同的。

在这个挑战中，你将尝试一个“在正方形中填充圆形”问题的简化版本。在上述代码生成的正方形中，可以放入多少个半径为0.5的圆形？画出来看一看！下图展示了最终的输出结果。

在5*5的正方形中填充半径为0.5的圆

这里的技巧是从正方形的左下角开始，即（1，1）点，然后持续添加圆形到正方形被填满。以下代码片段显示了如何创建一个圆并将其添加到图形中：

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y = 1.5 while y < 5: x = 1.5 while x < 1.5: c = draw_circle(x, y) ax.add_patch(c) # ax.set_gc('r') x = 1.0 y = 1.0

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这并不是在正方形中填充圆形的唯一办法，大家可以自行探讨。

代码实现：

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''' circle_in_square.py Circles in a square ''' from matplotlib import pyplot as plt def draw_square(): square = plt.Polygon([(1, 1), (5, 1), (5, 5), (1, 5)], closed=True) return square def draw_circle(x, y): circle = plt.Circle((x, y), radius=0.5, fc='y') return circle if __name__ == '__main__': ax = plt.gca() s = draw_square() ax.add_patch(s) y = 1.5 while y < 5: x = 1.5 while x < 5: c = draw_circle(x, y) ax.add_patch(c) x = 1.0 y = 1.0 plt.axis('scaled') plt.show()

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二、绘制Siperpinski三角

绘制Siperpinski三角（名字来源于波兰数学家Waclaw Siperpinski）是一个有内嵌其中的较小等边三角形组成的等边三角形分形。下图展示了由10000个点构成的Siperpinski三角。

由10000个点构成的Siperpinski三角

有趣的是，我们使用绘制蕨类植物的程序在这里可以同样绘制绘制Siperpinski三角，只需要改变变换规则及其概率。以下程序可以用来绘制绘制Siperpinski三角：从点（0，0）开始，并应用以下变换之一。

（1）变换1：

（2）变换2：

（3）变换3：

每个变换被选中地概率相同，均为1/3，这里的挑战是编写一个程序绘制由输入的指定点数构成的绘制Siperpinski三角。

代码实现：

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''' Draw a Siperpinski ''' from matplotlib import pyplot as plt import random def transformations_1(p): x = p[0] y = p[1] x1 = 0.5*x y1 = 0.5*y return x1, y1 def transformations_2(p): x = p[0] y = p[1] x1 = 0.5*x 0.5 y1 = 0.5*y 0.5 return x1, y1 def transformations_3(p): x = p[0] y = p[1] x1 = 0.5*x 1 y1 = 0.5*y return x1, y1 def get_x_y(n,p): transformations = [transformations_1, transformations_2, transformations_3] x = [0] y = [0] x1, y1 = 0, 0 for i in range(n): t = random.choice(transformations) x1, y1 = t((x1, y1)) x.append(x1) y.append(y1) return x, y if __name__ == '__main__': p = (0, 0) n = int(input('Enter the number of Siperpinski\'s dots: ' )) x, y = get_x_y(n, p) plt.plot(x, y,'o') plt.title('Siperpinski with {0} dots'.format(n)) plt.show()

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三、探索Henon函数

1976年，Michel Henon提出了Henon函数，该函数描述了一个点P(x,y)的变换规则：

无论初始点在哪里（假设它离原点不远），你将看到随着点的增多，它们开始沿着曲线分布，如下图：

Henon函数

这里的挑战是编写一个程序，创建一个以（1，1）为初始点，经20000次该变换规则迭代后的图形。

这是一个关于动力系统的例子，被所有点所吸引的曲线称为吸引子。更多关于此函数、动力系统和分形的基本信息，可以参考Kenneth Falconer的著作Fractals：A Very Short Introduction（牛津大学出版社，2013）。

代码实现（Henon 分形）：

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import matplotlib.pyplot as plt def transformation(p): x = p[0] y = p[1] x1 = y 1 - 1.4 * x**2 y1 = 0.3*x return x1, y1 def draw_Henon(n, p): x = [1] y = [1] x1, y1 = 1, 1 for i in range(n): x1, y1 = transformation((x1, y1)) x.append(x1) y.append(y1) return x, y if __name__ == '__main__': n = int(input('Enter the numbers of Henon points: ')) p = (1, 1) x, y = draw_Henon(n, p) plt.plot(x, y, 'o') plt.title('Henon with {0} points'.format(n)) plt.show()

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四、绘制Mandelbrot集

这里的挑战是编写一个程序绘制Mandelbrot集，这是引用加单规则导出复杂形状的另一案例（如下图）。在讨论实现它的具体步骤之前，我们先来了解matplotlib中的imshow()函数。

Mandelbrot集

imshow()函数

imshow()函数通常用来显示外部图像，如JPEFG或PNG图像。可以参考网址Image tutorial — Matplotlib 2.0.2 documentation中的例子。这里，我们使用这个函数通过matplotlib来绘制我们新创建的图像。

考虑笛卡尔平面的一部分，其中x和y’的坐标都位于0到5之间。现在，考虑沿每个轴的6个等距离点：x坐标和y坐标的取值均为0，1，2，3，4，5.如果我们取这些点的笛卡尔积，将得到x-y平面上的36个等距点。坐标分别为（0，0），（0，1）, ... ，（0，5），（1，0），（1，1），... ，（1，5），...，（5，5）。现在假设我们要用灰色阴影给每个点上色，也就是说，随机选择呢一些点为黑色、一些点为白色以及一些点为黑白之间的颜色。下图就展示了这种情形。

为创建这个图形，我们必须定义一个包含6个列表的列表，6个列表中的每一个都依次包含着0-10之间的6个整数，每个数字对应于每个点的颜色：0表示黑色，10表示白色。然后我们将这个列表和其他必要的参数一起传递给inshow()函数。

创建一个包含多个列表的列表

一个列表可以包含其他列表作为其元素：

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>>> l1 = [1,2,3] >>> l2 = [4,5,6] >>> l = [l1, l2]

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6*6的等间距点阴影上色

这里我们创建一个列表l，它包含了列表l1和列表l2。列表1的第一个元素l[0]与列表l1相同，第二个元素l[1]与列表l2相同。

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>>> l[0] [1, 2, 3] >>> l[1] [4, 5, 6]

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为引用这两个列表中的单个元素，我们必须指定两个索引，l[0][1]指代第一个列表的第二个元素，l[1][2]指代第二个列表的第三个元素，以此类推。

既然我们已经知道如何处理包含多个列表的列表，我们可以摆写一个程序创建一个类似于上图的图形。

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import matplotlib.pyplot as plt import matplotlib.cm as cm import random def initialize_image(x_p, y_p): # ① image = [] for i in range(y_p): x_colors = [] for i in range(x_p): x_colors.append(0) image.append(x_colors) return image def color_points(): x_p = 6 y_p = 6 image = initialize_image(x_p, y_p) for i in range(y_p): for j in range(x_p): image[i][j] = random.randint(0,10) # ② plt.imshow(image, origin='lower', extent=(0, 5, 0, 5), cmap=cm.Greys_r, interpolation='nearest') # ③ plt.colorbar() plt.show() if __name__ == '__main__': color_points()

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①处的initialize_image()函数创建了一个包含多个列表的列表，其中每一个元素都初始化为0，该函数有两个输入参数x_p和y_p，分别对应于x轴和y轴上的点的个数，这实际上意味着初始列表图像包含x_p个列表，其中每个列表包含y_p个0。

在color_points()函数中，一旦从initialize_image()函数返回一个图像列表，在②处就给元素image[i][j]分配一个0-10之间的随机整数。当给元素分配随机整数时，我们也给笛卡尔平面上的点（从原点出发沿y轴第i步，沿x轴第j步的点）指定了颜色。这里很重要的一点就是imshow()函数从image列表中的位置推导点的颜色，而不是依赖于具体的x坐标和y坐标。

然后，在③处调用imshow(函数，并将image作为第一个参数输入，关键字参数origin='lower指定image[0][0]的数字对应于点(0, 0)的颜色，关键字参数extent=(0,5, 0, 5)分别将图像的左下角和右上角的坐标设置为(0, 0)和(5, 5)，关键字参数cmap=cm.Greys_ r说明我们要创建一个灰度图像。

最后一个关键字参数interpolation='nearest'设定matplotlib 应该给那些没有指定颜色的点用与其最近的点的颜色上色。这是什么意思呢?注意我们仅考虑并指定了坐标区域(0, 0)和(5，5)内36个点的颜色，因为该区域内有无穷多个点，所以我们应该告诉matplotlib对那些没有设定颜色的点如何上色，这就是你在图中的 每个点周围看到颜色"框”的原因。

调用colorbar()函数将在图中显示一个颜色条， 显示哪个整 数对应哪个颜色。最后调用show()函数展示图像。需要注意的是由于使用了random.randint()函数，你的图像可能会与图6-15展示的有所不同。

如果你通过在color_points()函数中将x_ p和y_ p设置为20来增加每个轴上的点数，你将会看到一个与图6-16所示类似的图像，注意颜色框的尺寸变小了。如果你增加更多的点数，你将看到颜色框的尺寸进一步缩小， 给人的错觉是每个点都有不同的颜色。

Mandelbrot集的绘制

我们考虑x-y平面上位于点（-2.5，-1.0）和（1.0，1.0）之间的区域，并把每个轴划分为400个等间距的点，这些点的笛卡尔积将给出该区域内的1600个等间距点，我们把这些点记为。

20*20的等间距点阴影上色

通过调用之前用到的initialize_ image(函数创建一个 列表image,并将函数中的x_ p和y_ p都设置为400。 然后，为每个生成的点(x, y)执行下述步骤:

(1) 首先，创建两个复数，和。(我们用j表示 )

(2)创建一个迭代标签，并将其设置为0，即iteration=0。

(3)创建一个复数

(4)以1为单位增加iteration的值，即iteration= iteration 1。

(5)若abs(z1) < 2 且iteration < max_ iteration, 则返回第(3)步;否则进入第(6)步。max iteration 的值越大，绘制的图像越详细，当然花费的时间也就越长。这里设置max iteration=1000。 (6)将点的颜色设置为iteration 的值，即image[k][i] = iteration。一旦有了完整的image列表，调用imshow()函数，并将extent关键字参数设置为(-2.5， -1.0)和(1.0，1.0) 之间的区域。

这个算法通常称为时间逃逸算法。当一个点达到最大迭代次数时仍在区域内(即复数的模小于2），则该点属于Mandelbrot 集，将其涂成白色。那些在未达到最大迭代次数就超出区域的点称为“逃逸”，它们不属于Mandelbrot集，将其涂成黑色。你可以通过减少和增加每一个轴上点的个数来进行实验，减少点的个数会导 致颗粒图像，而增加点的个数则会产生更加细致的图像。

代码实现：

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import matplotlib.pyplot as plt import matplotlib.cm as cm import random x0, x1 = -2.5, 1 y0, y1 = -1.0, 1 def initialize_image(x_p, y_p): image = [] for i in range(y_p): x_colors = [] for i in range(x_p): x_colors.append(0) image.append(x_colors) return image def color_points(): n = 400 max_iteration = 1000 z1 = complex(0, 0) image = initialize_image(n, n) dx = (x1-x0)/(n-1) dy = (y1-y0)/(n-1) x_coords = [x0 i * dx for i in range(n)] y_coords = [y0 i * dy for i in range(n)] for i,x in enumerate(x_coords): for k, y in enumerate(y_coords): z1 = complex(0, 0) iteration = 0 c = complex(x,y) while abs(z1) < 2 and iteration < max_iteration: z1 = z1 ** 2 c iteration = 1 image[k][i] = iteration print(image) plt.imshow(image, origin='lower', extent=(-2.5, -1.0, -1.0, 1.0), cmap=cm.Greys_r, interpolation='nearest') plt.colorbar() plt.show() if __name__ == '__main__': color_points()

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