杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形。帕斯卡（1623----1662）是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年。杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合 。

我们先看一下杨辉三角形的打印结果：

杨辉三角形有很多性质：

1). 每行端点与结尾的数为1.

2). 每个数等于它上方两数之和。

3). 每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。

4). 第n行的数字有n项。

5). 前n行共[(1 n)n]/2 个数。

6).第n行的m个数可表示为 C(n-1，m-1)，即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。

7). 第n行的第m个数和第n-m 1个数相等 ，为组合数性质之一。

8). 每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个杨辉三角。即第n 1行的第i个数等于第n行的第i-1个数和第i个数之和，这也是组合数的性质之一。即 C(n 1,i)=C(n,i) C(n,i-1)。

9). (a b)^n^的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n 1)行中的每一项。

10). 将第2n 1行第1个数，跟第2n 2行第3个数、第2n 3行第5个数……连成一线，这些数的和是第4n 1个斐波那契数；将第2n行第2个数(n>1)，跟第2n-1行第4个数、第2n-2行第6个数……这些数之和是第4n-2个斐波那契数。

11). 将第n行的数字分别乘以10^（m-1）^，其中m为该数所在的列，再将各项相加的和为11^（n-1）^。 11^0^=1，

11^1^=1 * 10^0^ 1 * 10^1^=11，

11^2^=1×10^0^ 2x10^1^^ 1x10^2^=121，

11^3^=1x10^0^ 3×10^1^ 3x10^2^ 1x10^3^=1331，

11^4^=1x10^0^ 4x10^1^10^2^ 4x10^3 1x10^4=14641，

11^5^=1x10^0^ 5x10^1^ 10x10^2^ 10x10^3^ 5x10^4^ 1×10^5^=161051。

12). 第n行数字的和为2^（n-1）^。1=2^（1-1）^，1 1=2^（2-1）^，1 2 1=2^（3-1）^，1 3 3 1=2^（4-1）^，1 4 6 4 1=2^（5-1）^，1 5 10 10 5 1=2^（6-1）^。

13). 斜线上数字的和等于其向左（从左上方到右下方的斜线）或向右拐弯（从右上方到左下方的斜线），拐角上的数字。1 1=2，1 1 1=3，1 1 1 1=4，1 2=3，1 2 3=6，1 2 3 4=10，1 3=4，1 3 6=10，1 4=5。

14). 将各行数字左对齐，其右上到左下对角线数字的和等于斐波那契数列的数字。1，1，1 1=2，2 1=3，1 3 1=5，3 4 1=8，1 6 5 1=13，4 10 6 1=21，1 10 15 7 1=34，5 20 21 8 1=55。

实现杨辉三角形的打印也有很多方式，今天我为大家介绍两种方式：

• 使用数组的方式：这也是网上比较常见的方式。需要使用数组，所以效率较低。
• 不使用数组的方式：不需要使用数组，所以效率较高。

根据上面的性质，如果我们要打印一个11行的杨辉三角形，我们可以将整个排列看做是一个n行，0-n列的矩阵，再结合上面的性质8，我们将这个矩阵用一个二维数组来实现，如下图：

2.2.1 根据示意图，我们先定义一个二维数组：

int n = 11;//要几行的数据 int[][] values = new int[n][];//定义n行，但暂时每行的列数先不定义

2.2.2 生成二维数组，根据杨辉三角形性质，n行的数字个数为n：

for(int i = 0;i < values.length ; i ){ values[i] = new int[i 1];//行0有1列，行1有2列,....,行n有n 1列 }

2.2.3 填充二维数组：

for(int i = 0;i < values.length ; i ){ values[i] = new int[i 1];//行0有1列，行1有2列,....,行n有n 1列 for(int j = 0 ; j < values[i].length ; j ){ //根据性质1，每行的首尾都为：1 if(j == 0 || j == value[i].lenght - 1){ values[i][j] = 1; }else if(i > 1){//根据性质8，除首尾外的其它数字 = 上方数 上方左侧的数 values[i][j] = values[i - 1][j] values[i - 1][j - 1]; } } }

2.2.4 完整代码：

public class YangHui { public static void main(String[] args) { yangHui(8); } private static void yangHui3(int n) { int[][] values = new int[n][];//定义n行，但暂时每行的列数先不定义 for(int i = 0;i < values.length ; i ){ values[i] = new int[i 1];//行0有1列，行1有2列,....,行n有n 1列 for(int j = 0 ; j < values[i].length ; j ){ //根据性质1，每行的首尾都为：1 if(j == 0 || j == values[i].length - 1){ values[i][j] = 1; }else if(i > 1){//根据性质8，除首尾外的其它数字 = 上方数 上方左侧的数 values[i][j] = values[i - 1][j] values[i - 1][j - 1]; } } } print(values); } private static void print(int[][] values) { for(int i = 0; i < values.length; i ) { for(int j = 0; j < values[i].length; j ) { System.out.printf("%-4d", values[i][j]); } System.out.println(); } } }

数组的方式比较好理解，但需要创建二维数组，效率较低，接下来我们看一下不需要数组的写法。

根据性质6，第n行的m个数可表示为 C(n-1，m-1)，即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。

我们将其表示为C(i , j)的组合数，那么就有以下算法：

1、例如：i=3、j=2的位置上，值为C(3,2)，即(3*2)/(1*2)=3/1 * 2/2 = 3 2、例如：i=5、j=3的位置上，值为C(5,3)，即(5*4*3)/(1*2*3)= 5/1 * 4/2 * 3/3 = 5 * 2 * 1 = 10 3、例如：i=7、j=4的位置上，值为C(7,4)，即(7*6*5*4)/(1*2*3*4) = 7/1 * 6/2 * 5/3 * 4/4 = 35

根据上述算法，我们就可以很方便的写出以下代码：

private static void yangHui2(int n) { for(int i = 0; i < n; i ) {//行 for(int j = 0; j <= i; j ) {//列 //计算每列的值 int value = 1; for(int k = 0; k < j; k ) { value = value * (i-k) / (k 1); } System.out.printf("%-4d", value); } System.out.println(); } }