数学从最初经验性知识的积累，发展到如今，已建立起庞杂的学科体系。即包含一定程度上脱离经验、应用的纯粹数学，也包含侧重应用的应用数学。而且数学将继续朝着广泛、深刻、抽象的方向发展，新概念、新思想、新方法还会不断地产生。但是，无论数学如何的发展，到目前为止，无非两种方式：扩张法(一般化方法)和发现法。

扩张就是指：从已知的概念、定理出发，建立以原有的结果为特殊情形的更为广泛的概念、定理，该方法也可称为一般化方法。这在数学史上是在非常常见的，数学家非常热衷于从具体问题、特殊问题着手，找到其一般化的方法。

数学家解决数学问题时，一个最大的特点就是尽量追求问题的普遍化，即尽可能地把问题推广到更一般的情形。

比如，随着认知的深入，数学的一些概念在不断地拓展、扩张：

• 数的概念，从自然数开始，逐渐扩充到整数、有理数、无理数、负数、实数、复数和超越数等数的概念；
• 函数概念，从笛卡尔给出的最简单的函数概念开始，经莱布尼茨、伯努利、欧拉、柯西、黎曼、狄利克雷、维布伦等数学家的六七次的逐步扩张，扩张到了以集合论为基础的集合函数的概念，从而使其成为内容非常广泛的一般性学科；
• 积分概念，从连续函数的积分出发，扩张到包括不连续的函数在内的函数积分，经柯西、狄利克雷、黎曼、勒贝格、当茹瓦、斯蒂尔切斯等数学家将其逐渐扩张，如今的积分概念非常广泛。

定理和公式等数学命题，都是从个别事实出发得到的，其过程本身就是一种一般化。然而，继续以已知的命题为思考素材，作为更高一级命题的“特例”，从而建立有着更广泛意义的定理和公式：

• 勾股定理可以作为余弦定理的一个特例；
• 柯西不等式的不同形式；
• 两个积分公式，高斯公式为斯托克斯公式的特例；

如果从数学分支、学科的角度来看的话，学科也在经历着一般化的扩张：

• 复变函数论可看作微积分的一般化；
• 勒贝格的测度积分为黎曼积分的一般化，而测度积分的方法还进一步影响到其他学科，比如将概率分布的期望等也理解为测度积分；
• 希尔伯特的公理几何学，可以说是普通几何学的一般化；
• 黎曼几何的面世，使得欧式几何成为其特例。

发现法

发现法不同于扩张法，它不依赖于已知事项而发现新的数学事项。发现法并不是完全地独立于已有的数学，毕竟数学具有其系统性和连续性，只是新问题的解决相对来说独立，或者是一个全新的概念、领域。发现法不否定数学的积累，它既需要学科发展的成熟时机，也需要一个“英雄人物”，这在数学史上也是非常多的。例如：

• 笛卡尔与费尔马将代数与几何相结合，引入了坐标系；
• 牛顿和莱布尼茨以无穷小、极限概念为基础，分别独立地建立起微积分；
• 对于欧几里得几何学公设的质疑，鲍耶和罗巴切夫斯基建立起与欧几里得几何学性质迥异的非欧几里得几何学；
• 康托尔创立超穷数与集合论的理论，使得数学大厦广泛地建立在集合论的基础之上；
• 为解决代数方程的求解问题，伽罗瓦引入了群论的概念；
• 蒙日和斯坦纳等人创立与量的几何学大不相同的、不使用量的概念的射影几何学。

发现法的一个最大的特点就是，“英雄人物”的一些独到见解，在历经许多波折后，产生的新事物是与已知数学无关的新创立的学问或领域。尽管其基本概念常常是从已知数学的某些部门导出。

最后，我要说的是，虽然数学是靠扩张法和发现法发展起来的，但是现在的数学学习，都仅仅是理解和掌握这些发现的结果，而对于得到结果的途径和方法，却很少有人关注。毕竟深入研究和掌握发现法和一般化方法，能为基础研究、开拓新领域提供最好的启发。对于绝大部分的学生来讲，可能没什么机会直接与数学大师沟通，但数学史是一个非常好的途径，可以跨越时空的去了解当时数学家的工作。想要了解数学家是如何思考的？请购买专栏《大师启示录》，带你解密数学大师的思考密码！

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