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线段和角经典题型

• 欧几里得（公元前330年 —公元前275年）的《几何原本》，是一个严谨的借助演绎推理展开的系统。它从定义、公设、公理出发，一步一步地推证出了数百条几何定理。这一杰作展示了逻辑的力量，显示了人类理性的创造能力。所谓的数学定义、公设及公理（现代数学认为是一样的）就是数学家对数学对象的性质的约定。从其看来，数学定义和公理也不必要非得是真理。由此也天生注定，数学定义及公理与自然本真规律之间存在有“缝隙”，在以后的逻辑推理过程中，难免遇到过不去的“坎”。从“数”的发展与完善过程中，就可以看到这种“跨缝”“过坎”的痕迹——从有理数→无理数→虚数（复数）→无穷（实无穷/潜无穷）等。例如虚数的出现，就是因为在表示一元三次方程的根式中出现了负数开方的形式，没法推下去了，才纠结地把负数开方根作为数与其它数一起参与运算的。
• 亚里士多德（公元前384年—公元前322年）开创了形式逻辑学。它是建立在三大定律之上的逻辑形式，即：同一律、（无）矛盾律和排中律。所谓的同一律就是事物只能是其本身即A=A。由此推之，线段只能由线段构成，不能由别的点来构成。另外，《几何原本》中定义：点是没有部分的那种东西（即没有长度，是0）。如果点的长度是0,加起来岂不还是0？怎么能构成有长度的线段呢？这明显与逻辑发生了矛盾，似乎看起来说不通，是不成立的数学命题。
• 按照同一律的规定，线段是由很多“无穷小”的“线段”构成的，这肯定没毛病。那么如何来界定“无穷小”呢？历史上走过了一百多年。刚开始时，为研究运动物体的“瞬时速度”，17世纪时，微积分学的创始人著名数学家牛顿（1643.1.4—1727.3.31）把“瞬时速度”描绘成是无穷小时间内所走的无穷小的距离之比，即“时间微分”与“距离微分”之比。牛顿所想的无穷小是所想的变量在变成0之前的那个状态，实质上是个“实无穷”概念，这是牛顿的一个含糊不清的表达。由此，也遭到了唯心主义哲学家贝克莱的攻击，这就是数学史上所谓的‘第二次数学危机“。直到19世纪，数学家柯西（公元1789年—1857年）建立了一套严格的ξ-δ语言来说明什么叫做变量的极限，即无穷小。微积分学才有了牢不可破的逻辑基础。极限理论实质上是个“潜无穷”概念的运用，即所想变量在变成0之前是一个函数，是一个变化过程，是无穷多的一串数，而不是一个数。它没有起点，也没有终点，前后数永远不相同的一个变化过程。用数学语言表达则是：如果函数F（x)当x→x。时的极限为0,这时函数F（x)叫做x→x。时的无穷小。根据极限的定义，我们可以证明：0是可以作为无穷小的“唯一的数”，因为如果F（x)≡0,那么对于任意给定ξ＞0总有｜F（x)｜＜ξ。从此意义上看，0与无穷小有“质”上的相同。由数可以推之，点可以看作是“无穷小线段”的“唯一几何表达”，在“质”上是相同的。因此，“线段是由点构成的”的数学命题实质上是符合“同一律”的。把“点”看作是线段的界面和中间表达也是适合的。
• 康托尔（1845年—1918年）是近代最著名的数学家和逻辑学家之一。他所创立的集合论已被公认是现代数学的基础。从“一样多”的合理定义，揭示出无穷集不同于有穷集的特征：它可以和自已的部分一样多。这不符合人们的习惯思维和认知，但这不是否定集合论一样多定义的理由。因此，在有穷世界里的逻辑思维运用到无穷王国里就不见得逻辑了。在有穷世界里，有穷个0加在一起仍是0,这是符合逻辑的，但在无穷王国里，无穷个0加在一起，从实际效果看，就不是0了，否则，线段就看不见了。这一下子就从数学跑到哲学上去了。试想一下，不管哪个领域，只要牵涉到无穷，到最后都有点不可思议的感觉。
• 总之，从逻辑角度分析“线段是由点构成的”数学命题，我个人认为是成立的。
• 参考文献：1）《数学与哲学》张景中院士著；2）《高等数学》同济大学主编。