在高中，我们学过正弦函数，也知道一些特殊角度的正弦数值，如sin90°=1，sin60°= ，sin45°= ，sin30°=0.5。但是对于其他非特殊角度的正弦值，我们就不太好计算了。

最近，我在图书馆看到一本国外的科普书《天啊，几何还能这样学》，里面就聊到如何快速手算任意角度的正弦值，方法很新颖，也很有效果，如下图所示。

这种方法的原理是，当角度很小时，该角度所对的圆弧与半径的比值与正弦值非常接近，误差很小。这时，计算正弦值就转换为计算圆弧与半径的比值。

如下图所示，点A为圆心，AB、AD为圆的半径，BD是角A所对应的圆弧，BC垂直AD于C。当角A很小时，圆弧BD与线段BC的长度就非常接近。

假设AB=R，于是sinA°=BC/AB BD/AB=BD/R。

又因为BD=2R（A/360），于是sinA°BD/R=（A/360）=A /180。

接下来，我们就能够求出任意角度的正弦值：

一、求sin1°~sin15°。

因为sinA°BD/R=2 （A/360）=A /180，于是：

1、sin1°=1* /180=0.01745。

（查正弦表可知，sin1°=0.01745……，这时两者小数点5位以内数值都是一致的）

2、sin2°=2* /180=0.03491。

（查正弦表可知，sin2°=0.03489……，这时两者小数点3位以内数值都是一致的）

3、sin10°=10* /180=0.17453。

（查正弦表可知，sin10°=0.17364……，这时两者小数点2位以内数值都是一致的）

3、sin15°=15* /180=0.26180。

（查正弦表可知，sin15°=0.25881……，这时两者小数点1位以内数值都是一致的，这时误差为（0.26180-0.25881）/0.25881=1.15%，这个误差还是相对比较小的，属于可接受范围。）

二、求sin15°~sin30°。

1、sin30°=30* /180=0.52360。

（我们知道sin30°=0.5，这时依据上述方法算出来的误差为（0.52360-0.5）/0.5=4.72%，这个误差已经很大了，是无法接受的。）

2、这时为了降低误差，我们需要利用勾股定理求出15度角的正弦值（sin15°）。

已知AB=AD，AC垂直于BD，角BAC=角DAC=15°，角BAE=30°，BE垂直于AD，于是BC=CD。

因为角BAE=30°，所以BE= AB，AE= AB，ED=AD-AE= AB。

在三角形BED中， 。

可计算得出： 。

于是sin15°=BC/AB= =0.258819……=0.259（取3位小数）

又sin30°=0.5，所以（sin30°-sin15°）/15=0.01608=0.016（取3位小数）

15°~30°，我们认为角度在增加，正弦值也随之成比例增加，即角度每增加1°，正弦值随之增加0.016。

3、于是：

sin15°=0.259

sin16°=0.259 0.016=0.275

……

sin20°=0.259 0.016*5=0.339

（查正弦表可知，sin20°=0.342……，误差很小）

……

sin25°=0.259 0.016*10=0.419

（查正弦表可知，sin25°=0.422……，误差很小）

……

三、求sin30°~sin45°。

1、sin30°=0.5，sin45°= （取3位小数）

2、（sin45°-sin30°）/15=0.01608=0.0138=0.014。（取3位小数）

3、30°~45°，我们认为角度在增加，正弦值也随之成比例增加，即角度每增加1°，正弦值随之增加0.014。

4、于是：

sin30°=0.5

sin31°=0.5 0.014=0.514

……

sin35°=0.5 0.014*5=0.570

（查正弦表可知，sin35°=0.5735……，误差很小）

……

sin40°=0.5 0.014*10=0.640

（查正弦表可知，sin40°=0.6427……，误差很小）

……

sin44°=0.5 0.014*14=0.696

（查正弦表可知，sin44°=0.69465……，误差很小）

四、求sin45°~sin90°。

1、如下图，在直角三角形ABC中，角C是直角，角A 角B=90°。

2、于是 ： ，等式两边同时除以 。

3、可得 。

4、于是

5、于是：sin46°= =0.718

（查正弦表可知，sin46°=0.71933……，误差很小）

……

sin50°= =0.768

（查正弦表可知，sin50°=0.76604……，误差很小）

……

sin65°= =0.908

（查正弦表可知，sin65°=0.90630……，误差很小）

……

sin75°= =0.966

（查正弦表可知，sin75°=0.96592……，误差很小）

……

sin80°= =0.985

（查正弦表可知，sin80°=0.98480……，误差很小）

……

好了，这种方法就介绍到这里了。

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