双曲线与切线，渐近线交点问题，可以说霸占了考题难题的的百分之八十，需要好好分析总结。本文阅读需要8分钟左右。

当我们画了一对双曲线时，在平面内任取一个点。

显然，它会与双曲线有三种位置关系。

两曲线之间，在曲线上，在左右两边即曲线之外。

对于每一种位置关系我们会问这样几个问题：

1. 何时有一个交点

2. 何时两个交点

3. 何时没有交点

4. 何时两个交点位于同侧

5. 何时两个交点位于异侧

他们的答案，都会和斜率有关，包括切线和准线的斜率。

先来看第一种情况；

点在两条曲线之间：

点在双曲线中间，示意图

此时,例子如图。

K1,k2为切线斜率：

（关于切线是与一侧切两次还是与两个曲线各切一次：

如果这个点在渐近线两线相夹的上下区域：就和两侧切。

如果在渐近线区域左右：就和靠近的一侧，上面一个，下面一个。

K3，k4为渐近线斜率，k3<0 k4>0

（渐近线斜率陡峭还是切线斜率陡峭?

一定是切线斜率陡峭，因为切线斜率的极限才能够是渐近线）

所以k1》k4

K2<k3

此时解决问题：

1. 何时有一个交点（过（m，n）点 k=k1，k2，k3，k4）

2. 何时两个交点( （k1,k2)

3. 何时没有交点 (k1,oo)(oo,k2)

4. 何时两个交点位于同侧

(同侧即为正斜率到正斜率，负斜率到负斜率）区间（k4，k1） （k2,k3)

5. 何时两个交点位于异侧(k3,k4)

第二种：

点在曲线上：

会产生三条特殊线，只有一个公共交点：

切线k1

正斜率k2

负斜率k3

此时解决问题：

1. 何时有一个交点（过（m，n）点 k=k1，k2，k3）

2. 何时两个交点( （k1,k2)（k3，k2）（k1，oo）（-OO，k3）

3. 何时没有交点 不存在

4. 何时两个交点位于同侧 （k1，oo）（-OO，k3）（k1,k2)

5. 何时两个交点位于异侧(k3,k2)

第三种情况：点在曲线两侧

只有俩斜率正k1负k2

此时解决问题：

1. 何时有一个交点（过（m，n）点 k=k1，k2）

2. 何时两个交点( （k1，oo）（-OO，k2）（k1，k2）

3. 何时没有交点 不存在

4. 何时两个交点位于同侧 （k1，oo）（-OO，k2）

5. 何时两个交点位于异侧（k1，k2）

大体就是这样。

细节之处不辩不清的，欢迎大家留言来讨论。

作者：柴老师

高考数学149分，哈工大本科，北京大学双学位在读。四年来帮助上千名学生高考提分三十加。

,