设 a 是任意自然数，则有以下命题：

（1）. a一定能被1整除。

（2）. 能被2整除的数的特征：a是偶数。

（3）. 能被3整除的数的特征：a各位数字之和能被3整除。

（4）. 能被4整除的数的特征：a的末两位数字能被4整除。

关于被4整除的数的特征说明：

若a是两位数，则（4）的条件自然成立，若a是三位或三位以上的数字，可将a写成：a=100k m，其中m是a的末两位数字，k是a除了末两位以外的数字，由于100k一定能被4整除，所以若m也被4整除，则a一定能被4整除，这就证明了命题（4）。

（5）. 能被5整除的数的特征：a以0或5结尾。

（6）. 能被6整除的数的特征：a是偶数，且各位数字之和被3整除。

（7）. 能被7整除的数的特征：将a的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，差是7的倍数。

以3164是否能被7整除，按命题（7）判断过程如下：

由于连续运用命题（7）对3164进行计算后，结果能被7整除，所以可知3164能被7整除。

关于能被7整除的数，还具备这样一个特征，如果a的位数大于3位，则a的末三位与末三位之前的数字之差能被7整除，还以3164为例：164-3=161，而161÷7=23，所以3164可被7整除，这两种方法同学们可灵活运用。

（8）. 能被8整除的数的特征：a的末三位数能被8整除。

（9）. 能被9整除的数的特征：a的各个数位上的数字之和能被9整除。

（10）. 能被10整除的数的特征：a的末位是0。

（11）. 能被11整除的数的特征：a的奇数位上的数字之和，减去它的偶数位上数字之和，其差能被11整除。

比如：528，5 8-2=11，所以528可被11整除。

如果a没那么大，那么将a从右向左每两位进行划分，然后将各部分之和相加，若所得之和能被11整除，则a也可被11整除。

（12）. 能被12整除的数的特征：a既可被3整除，又可被4整除。

（13）. 能被13整除的数的特征：a的末三位与末三位之前的数字之差能被13整除。

比如：71858332，71858-332=71526，526-71=455，而455÷13=35，所以71858332可被13整除。

（14）. 能被14整除的数的特征：a既可被2整除，又可被7整除。

（15）. 能被15整除的数的特征：a既可被3整除，又可被5整除。

（16）. 能被16整除的数的特征：a既可被2整除，又可被8整除。

（17）. 能被17整除的数的特征：a的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，差是17的倍数。（或者a的末三位与其前面数3倍的差能被17整除，则这个数能被17整除。）

这个可以参考命题（7），以2091为例：

因为0能被17整除，所以2091能被17整除。

另一种方法判定：91-2x3=85，85÷17=5，所以也可得出2091能被17整除。

（18）. 能被18整除的数的特征：a既可被2整除，又可被9整除。

（19）. 能被19整除的数的特征：a的个位数字划去，再加上个位数字的2倍，得到的结果能被19整除。

同样可参考命题（7），以47045881为例：

由于57÷19=3，所以47045881可被19整除。

小结

本文总结了能被20以内的数整除的数的特征，总体来说有以下几种类型：

1、各数位之和可被3、9等整除，则原数可被这些数整除；

2、截尾加减法，例如7、17、19等；

3、奇偶和差法，如11；

4、分割做差法，如7、13、17等；

5、结尾判定法，如2、4、5、10等；

6、因子法，如：6、12、14、16、18等；

（来源：娜驿站微信公众号）

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