巧用旋转补形求面积(2020年陕西西安第25题)

求不规则图形的面积，通常方法是将其通过割补变成规则图形。对于较为复杂的图形，也可先将其中较规则且比较容易求的部分与其余部分分离，重点解决较难求的部分。

求解几何综合题的思路究竟怎样才能找准，一直是教学中值得思考的问题，这首先要建立在认真读题的基础之上，从题目中每个条件出发去拓展延伸，触发回忆，形成知识网络，在这个过程中，并非都能一次性找到突破口，需要反复尝试，同时每次尝试不要轻易全盘否定，部分推导结果可能还会用于下一次推导，整个解题过程，也是对自我知识体系的一次全面测试。

题目

问题提出

(1)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC>BC，∠ACB的平分线交AB于点D，过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，则图1中与线段CE相等的线段是____________________；

问题探究

(2)如图2，AB是半圆O的直径，AB=8，P是弧AB上一点，且弧PB=2弧PA，连接AP，BP，∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线段CF的长；

问题解决

(3)如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图，已知圆O的直径AB=70m，点C在圆O上，且CA=CB，P为AB上一点，连接CP并延长，交圆O于点D，连接AD，BD，过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，垂足分别为E，F，按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区，设AP的长为x(m)，阴影部分的面积为y(m²).

①求y与x之间的函数关系式；

②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理，试求当AP=30m时，室内活动区(四边形PEDF)的面积.

解析：

(1)根据角平分线上的点到这个角两边距离相等，可得DE=DF，同时∠ACB=90°，DE⊥AC，DF⊥BC可知正方形CEDF，于是和线段CE相等的线段有三条，分别是CF，DE，DF；

(2)由直径所对的圆周角是直角，得到∠APB=90°，因此和前一小题极为类似，仍然可得正方形PECF，而新增的弧PB=2弧PA，我们观察它们分别所对的圆周角，即∠PAB=2∠ABP，而它们恰好又是Rt△ABP的两个锐角，所以∠ABP=30°，可求得AP=4；

现在图中含30°角的直角三角形就很多了，我们取其中一个，Rt△ACE，设CE=a，则AE=√3a/3，AP=√3a/3 a，得方程√3a/3 a=4，解得a=6-2√3，即CF=6-2√3；

(3)直径AB所对的∠ADB和∠ACB均为直角，而CA=CB则告诉我们圆内有两条相等的弦，于是它们所对的∠ADC=∠BDC，这又回到了前面两个小题中的角平分线条件了，即CD平分∠ADB，所以我们同样可证明正方形DEPF；

①再来看阴影部分，其中直径AB的上半部分容易求，△ABC本身就是等腰直角三角形，斜边为70m，所以它的面积为1225m²；

剩下的△APE和△BPF面积如何求？

先做前期准备，AP=x，BP=70-x，仍然设正方形DEPF边长为a；

失败尝试一：分别求它们的两条直角边，显然△APE∽△PBF，利用比例线段表示出AE=ax/(70-x)，BF=a(70-x)/x，结果表示出来的解析式非常复杂，虽然可以消掉参数a，但不符合要求；

失败尝试二：用△ADB减掉正方形DEPF似乎可行，仍然利用△APE∽△PBF∽△ABD，表示出AD=70a/(70-a)，BD=70a/x，得到一个更为复杂的代数式，不符合要求；

经过这两次失败尝试，发现直接用三角形面积公式表示这两个三角形面积有困难，因此寻思如何将它们转换成较容易求面积的图形，这时再次看到正方形DEPF，联想到“手拉手”模型，何不将△APE绕点P旋转过来呢？如下图：

过点P作PG⊥AB，交BD于点G，我们可得△APE≌△GPF，现在再来看△BPG，这也是个直角三角形，并且PG=PA=x，BP=70-x，所以它的面积为1/2(70-x)x=35x-1/2x²，所以y=1225 35x-1/2x²；

②利用前面的探索结果，我们来求正方形DEPF的边长a，仍然观察△BPG，现在知道PG=AP=30m，BP=40m，可求出BG=50m，即它是一个三边之比为3:4:5的直角三角形，接下来我们可利用相似三角形或三角函数来完成计算，△BPF三边之比也为3:4:5，因此可求出PF=24m，最后得到正方形DEPF的面积为24²=576m².

解题反思

这三个小题均出现了直角三角形中，直角的角平分线构成的正方形，基于这个模型，逐步拓展，加深难度。

对于正方形中的手拉手模型，仍然是常见题型，在第3小题的两次失败尝试中，我们发现失败的原因无一不是依靠“死算”，硬是要用含x的代数式表示三角形的底和高，结果得到了一个无法简化的复杂代数式，当然，不经历这种失败，最终也不会去进一步思考有没有其它方法，从而想起转化拼接，再联想旋转全等。

这样的失败尝试，在平时教学中不妨让学生多体验，部分学生执迷于用代数方法计算，认死理，俗称“死算”、“硬算”，在数学学习中并不可取，吃过几次亏，再反思几次，方法才能变得灵活，这些经验，刷题是出不来的，要靠悟。

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